קווריאנטיות לטרנספורמציות אפיניות חיוביות

קווריאנטיות לטרנספורמציות אפיניות חיוביות היא תכונה מתמטית המתארת מושגי פתרון של משחקים בצורה קואליציונית ומשחקים בצורה אסטרטגית. התכונה אומרת שאם משחק אחד מתקבל ממשחק אחר על ידי הפעלת טרנספורמציה אפינית חיובית, אז הפתרון של המשחק הראשון שווה לפתרון המשחק השני לאחר הפעלת אותה טרנספורמציה אפינית. קווריאנטיות לטרנספורמציות אפיניות חיוביות מתקיימת עבור הפתרונות של הליבה, ערך שפלי, קבוצות מיקוח, הגרעינון והגרעין במשחקים השיתופיים, ועבור שיווי משקל נאש ושיווי משקל מתואם במשחקים הלא שיתופיים.

הגדרה פורמלית

טרנספורמציה אפינית חיובית

טרנספורמציה אפינית חיובית של פונקציה כלשהי $p:X\rightarrow \mathbb {R}$ היא הפונקציה $g:X\rightarrow \mathbb {R}$ המקיימת $g(x)=\alpha p(x)+\beta ,\forall ~x\in X$ עבור מספר $\alpha >0$ ומספר ממשי $\beta$.

קווריאנטיות לטרנספורמציות אפיניות חיוביות (משחק מיקוח)

פתרון $f$ למשחקי מיקוח מקיים את הקווריאנטיות לטרנספורמציות אפיניות: אם לכל משחק מיקוח $(S,d)$, לכל וקטור $a\in R^{2}$ כאשר שתי הקואורדינטות של $a$ הן חיוביות, ולכל וקטור $b\in R^{2}$ יתקיים הדבר הבא: $\,f(aS+b,ad+b)=af(S,d)+b$ . באופן זה ניתן לומר כי העיקרון המוצג כאן הוא שילוב עקרונות הקווריאנטיות תחת הזזות והאי-תלות ביחידות המדידה.

במשחק בצורה קואליציונית

עקרון הקווריאנטיות לטרנספורמציות אפיניות חיוביות מופיע כעיקרון שקילות אסטרטגית עבור משחקים בצורה קואליציונית עם תשלומי צד.

פתרון $\phi$ למשחק בצורה קואליציונית עם תשלומי צד מקיים שקילות אסטרטגית אם לכל משחק $\left(N;v\right)$, לכל $a\in R_{+}$, לכל וקטור $b\in R^{N}$ ולכל שחקן $i\in N$ מתקיים: $\phi _{i}(N;av+b)=a\phi _{i}(N;v)+b_{i}$

במשחק בצורה אסטרטגית

במשחק בצורה אסטרטגית מושגי הפתרונות של שיווי משקל נאש ושיווי המשקל המתואם מקיימים קווריאנטיות לטרנספורמציות אפיניות חיוביות, עבור כל שחקן $i$ במשחק, באופן הדומה לזה שהוצג במשחקי מיקוח ובמשחקים בצורה קואליציונית.

קשר למשפט פון נוימן-מורגנשטרן

משפט פון נוימן-מורגנשטרן קובע באיזה תנאים קיימת לשחקן פונקציית תועלת ליניארית. בנוסף, המשפט קובע כי פונקציית התועלת הליניארית של השחקן נקבעת עד כדי טרנספורמציה אפינית חיובית. לכן, כאשר מביעים את תוצאות המשחק ביחידות תועלת, על הפתרון להיות קווריאנטי תחת שקילות אסטרטגית: אם משנים את יחידות התועלת של שחקן על פי טרנספורמציה אפינית חיובית, הפתרון אמור להשתנות על פי אותה טרנספורמציה אפינית חיובית.

ראו גם

• קווריאנטיות תחת הזזות
• משחק מיקוח
• משפט פון נוימן-מורגנשטרן

לקריאה נוספת

• שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946