קומפקטיפיקציה

בטופולוגיה, קומפקטיפיקציה של מרחב טופולוגי היא שיכון שלו בתוך מרחב קומפקטי באופן שהמרחב הראשון צפוף בשני. צעד זה מאפשר ליהנות מהתכונות החזקות של המרחב הקומפקטי.

דוגמה: הקטע הסגור [0,1] מהווה קומפקטיפיקציה של הקטע הפתוח (0,1), וגם של הישר הממשי כולו: בשני המקרים הקומפקטיפיקציה כוללת "המצאה" יש-מאין של נקודה חדשה, והדבקתה לשני הקצוות של המרחב הטופולוגי (קצוות "אמיתיים" במקרה הראשון, ו"מדומים" במקרה השני).

המתמטיקאי הרוסי אלכסנדרוף הראה שלכל מרחב טופולוגי (לא קומפקטי) יש קומפקטיפיקציה על ידי הוספה של נקודה אחת. הרעיון הוא להעתיק אל המרחב החדש את הטופולוגיה של המרחב הישן, ולהוסיף לאוסף הקבוצות הפתוחות את כל הקבוצות מהצורה {∞}G U כאשר G קבוצה פתוחה של X ו X \ G קומפקטית. כדוגמה נוספת, יש שתי דרכים טבעיות לשכן את המישור המרוכב במרחב קומפקטי. האחת, להוסיף לו את "הנקודה באינסוף", ולקבוע שכל סדרה שהערך המוחלט של איבריה שואף לאינסוף, מתכנסת אל הנקודה החדשה. זהו מקרה פרטי של הקומפקטיפיקציה של אלכסנדרוף, והמרחב המתקבל הוא הספירה של רימן. אפשרות שנייה היא להוסיף את "המעגל באינסוף", כלומר להוסיף למישור מעגל "מבחוץ", כשנקודות המעגל עומדות בהתאמה חד-חד-ערכית לזוויות של ישרים. בדוגמה זו, סדרה מתכנסת לנקודה המתאימה לזווית t אם הערך המוחלט של איבריה שואף לאינסוף, והיא אסימפטוטית לישר שהזווית שלו t. המרחב המתקבל הומיאומורפי למעגל היחידה הסגור.

תהליך דומה לקומפקטיפיקציה הוא השלמה של מרחבים מטריים. ההשלמה של מרחב מטרי חסום מהווה קומפקטיפיקציה שלו.

לקריאה נוספת

• דניאלה ליבוביץ, טופולוגיה קבוצתית, פרק 7 (כרך ג'), הוצאת האוניברסיטה הפתוחה, 1997.