קונסטרוקטיביזם (פילוסופיה של המתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

קונסטרוקטיביזם היא אסכולה בפילוסופיה של המתמטיקה הגורסת שיש צורך למצוא (או "לבנות") אובייקט מתמטי על מנת להוכיח שהוא קיים. זאת בניגוד לתפיסה המודרנית במתמטיקה, שלפיה אפשר להסיק שהעצם קיים, גם מתוך כך שהנחת אי-קיומו מביאה לסתירה. לעתים נעשה שימוש במכונת טיורינג כדי להגדיר מהו "ניתן לבנייה".

האסכולה מזוהה לרוב עם האינטואיציוניזם, אך למעשה הגישה האינטואיציוניסטית היא דוגמה אחת לקונסטרוקטיביזם.

העצמים הנחקרים במסגרת האינטואיציוניזם הם עצמים סופיים, שניתן לבנותם. מכך מקבלים תורה מתמטית שהיא חלשה יותר מהתורה המתמטית המודרנית, משום שישנם משפטים העוסקים בעצמים סופיים אשר הוכחו באמצעים אינסופיים. כך למשל השערת פרמה על משוואות מסוימות במספרים שלמים הוכחה בשנת 1995 באמצעות כלים מתחום העקומים האליפטיים ותורת ההצגות האריתמטיות.

עם זאת, המתמטיקה המודרנית לפי משפט אי השלמות של גדל, בגלל חוזקה הרב, לא מסוגלת להוכיח משפטים מסוימים שיכולים להיות נכונים. יתרה מזאת, לא ניתן להוכיח במתמטיקה (המתמטיקה כיום מבוססת על האקסיומות של תורת הקבוצות האקסיומטית) כי תורת הקבוצות היא עקבית. כלומר, המתמטיקאים אינם משוכנעים כי המתמטיקה אשר בידינו לא כוללת סתירות. לכן, המוטיבציה מאחורי האסכולה הקונסטרוקטיבית היא לפתח מתמטיקה בה אמנם נדע פחות, אך מה שנדע, ייתכן ויהיה פחות רגיש לסתירות והשלכות של משפטי אי השלמות של גדל.

המוטיבציה היא אף גדולה יותר מכך, כי למעשה, העולם בו אנחנו חיים הוא סופי (ככל שאנחנו יכולים להבחין בחושינו) - המסה היא סופית, האנרגיה היא סופית וכל דבר שלוקח מקום בעולם לוקח מקום סופי. כך למשל החלקיק הקטן ביותר שנגלה יהיה בעל נפח מסוים כי אם לא יהיה לו נפח, הוא לא יהיה קיים בעינינו. המתמטיקה לעומת זאת לוקחת את הרעיון הזה ומגדירה נקודה, דבר שאין לו גודל, וזו אמנם הגדרה שימושית מאוד בעלת השלכות עצומות אך למעשה בעולם אין נקודות, דבר המצדיק את הלוגיקה הקונסטרוקטיבית.

אם כן, האסכולה הקונסטרוקטיבית מתנגדת לרעיונות של בנייה אינסופית שלא נגמרת. כך למשל: בהוכחתו של קנטור כי העוצמה אלף אפס שונה מאלף, הוא מניח בשלילה כי קבוצת המספרים הממשיים בקטע [0,1] היא מעוצמה אלף אפס, מסדר את כל המספרים בטבלה אינסופית ובונה אלכסון לאורך הטבלה ומחליף כל ספרה לאורך האלכסון בספרה אחרת וכך בונה מספר אשר אינו בטבלה (האלכסון של קנטור). כך מושגת סתירה. לפי הגישה הקונסטרוקטיבית, הוכחה זו אינה קבילה כי היא עושה שימוש באלכסון באורך אינסופי וכו'. מאידך, לפי הקונסטרוקטיביזם לא ניתן בכלל לדבר על קבוצת המספרים הממשיים או בכלל על מספר ממשיים, כי מושגים אלו אינם קיימים בעולם, אלא רק במוחם של בני אדם.

כך למשל ניתן לספק פתרון פילוסופי להשערת הרצף - לא ידוע אם יש עוצמה בין אלף-אפס לאלף. לפי גדל וכהן הבעיה אינה תלויה באקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות, ולכן מדובר בבעיה אמיתית ומעניינת אשר האקסיומות המקובלות כיום בתורת הקבוצות לעולם לא יהיו מסוגלות לענות עליה. אולם, אם מקבלים את השיטה הקונסטרוקטיבית הבעיה נעלמת כי לא ניתן להתייחס לעוצמה אלף.

דוגמה להוכחה לא קונסטרוקטיבית[עריכת קוד מקור | עריכה]

על מנת להמחיש בצורה קונקרטית יותר את מושג הקונסטרוקטיביות, נציג להלן הוכחה לא קונסטרוקטיבית לעובדה הבאה: קיימים זוג מספרים אי רציונליים x וy כך ש \,x^y הוא מספר רציונלי. הוכחה: נסמן \,x=y=\sqrt{2}. ידוע כי השורש הריבועי של 2 אינו מספר רציונלי. אם \,x^y הוא רציונלי הזוג x,y מהווה דוגמה לטענת המשפט. אחרת, נסמן \,z=x^y, ואז קל לוודא כי \,z^x = (\sqrt{2}^\sqrt{2})^\sqrt{2} = 2 והזוג z,x מהווה דוגמה להוכחת המשפט. הוכחת המשפט אינה אומרת לנו מי הוא הזוג המקיים את טענת המשפט, אלא רק מראה כי זוג כזה קיים, ולכן היא אינה קונסטרוקטיבית.