קו-מכפלה (תורת הקטגוריות)

במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הקטגוריות, קו-מכפלה של אובייקטים בקטגוריה היא הכללה של בניות שונות במתמטיקה, כגון איחוד זר של קבוצות, מכפלה חופשית של חבורות, סכום ישר של מרחבים וקטוריים וכו'. במהותה, קו-מכפלה של זוג אובייקטים היא הקונספט הדואלי למכפלה (תורת הקטגוריות).

הגדרה

נניח כי C היא קטגוריה וכי $\,\{X_j|j \in I\}$ היא משפחה של אובייקטים ב-C. הקו-מכפלה של הקבוצה $\,\{X_i\}$ היא אובייקט X ביחד עם אוסף מורפיזמים $\,i_j: X_j \to X$ (הנקראות השיכונים הקנוניים, שהם לעתים קרובות, אם כי לא תמיד מונומורפיזמים) אשר מקיימים את התכונה האוניברסלית הבאה: לכל אובייקט Y ואוסף מורפיזמים $\,f_j :X_j \to Y$ קיים מורפיזם יחיד $\,f: X \to Y$ כך שלכל $\,j \in I$ מתקיים $f_j = f \circ i_j$. במילים אחרות, לכל j הדיאגרמה הבאה היא דיאגרמה קומוטטיבית:

במילים אחרות, X הוא אובייקט התחלתי בקטגוריה ${}_{\{X_j\}}C = \left\{ (Z, \{ g_j : X_j \to Z \}) \ | \ \forall i : X , X_j \in \mathrm{Ob}(C) \ , \ g_j \in \mathrm{Mor}(Z,X_j) \right\}$ עם המורפיזמים המתאימים (כך שהדיאגרמה המתאימה קומוטטיבית).

אם משפחת האובייקטים מכילה רק שני איברים, נהוג לסמן את המכפלה ב$\,X_1 \coprod X_2$, ואז התכונה האוניברסלית מבוטאת על ידי הדיאגרמה הקומוטטיבית הבאה:

המורפיזם היחיד f ההופך את הדיאגרמה לקומוטטיבית מסומן לעתים ב-f₁ ∐ f₂ או f₁ ⊕ f₂ או f₁ + f₂ או [f₁, f₂].

באופן כללי, הקו-מכפלה של $\,\{X_j|j \in I\}$ מסומנת

$X = \coprod_{j \in I} X_j$

ולעתים

$X = \bigoplus_{j \in I} X_j$.

דוגמאות

• בקטגוריית הקבוצות, איחוד זר של קבוצות היא קו-מכפלה, כאשר השיכונים $i_A$ ו-$i_B$ הם פשוט ההכלות (כגון $A \subset A \uplus B$). בפרט, $A \coprod B = A \uplus B$, וזו הסיבה מדוע משתמשים לעתים בסימן ∐ לציין איחוד זר.
• אפשר לבנות קו-מכפלה גם של קבוצות לא זרות באופן הבאה: אם $A \cap B \ne \emptyset$ לוקחים קבוצה $B'$ שוות עוצמה ל-B שזרה ל-A ואז בונים את האיחוד $A \uplus B'$ עם שיכון $i_{B'} \circ f$ כאשר $f : B \to B'$ היא פונקציית שקילות של קבוצות.
• קו-מכפלה בקטגוריה של חבורות אבליות היא סכום ישר של החבורות, ומסומנת $G \oplus H$.
• קו-מכפלה בקטגוריה של מרחבים וקטוריים היא סכום ישר של המרחבים, ומסומנת $V = \bigoplus_{j \in I} V_j$ כאשר את איבריה ניתן להציג כקבוצת כל הסכומים הסופים של איברים מ-V, כלומר: שכמעט לכל $j \in I$ האיבר שבא מ-$V_j$ שווה לאפס. למשל: $v_1 + v_2 \in \bigoplus_{n=1}^{\infty} V_n$ אך $0 + 0 + v_3 + v_4 + v_5 + ... = \sum_{n=3}^{\infty} v_j \notin \bigoplus_{n=1}^{\infty} V_n$.
• בקטגוריה של חוגים קומוטטיביים עם יחידה, המכפלה הטנזורית של A ו-B הםומנת ב $A \otimes B$ היא קו-מכפלה, ביחד עם השיכונים הקנוניים $a \mapsto a \otimes 1 \in A \otimes B$ ו-$b \mapsto 1 \otimes b \in A \otimes B$.

קיום ויחידות

לא בכל קטגוריה C קיימת לכל משפחה $\,\{X_j\}$ קו-מכפלה. אם קיימת המכפלה אז היא יחידה במובן הבא: אם $\, i_j: X_j \to X$ ו-$\,i'_j: X_j \to X'$ הן זוג מכפלות של המשפחה $\,\{X_j\}$ אז קיים איזומורפיזם יחיד $\,f:X \to X'$ כך ש $i_j' = f \circ i_j$.

ראו גם

• מכפלה (תורת הקטגוריות)
• מכפלת סיב (תורת הקטגוריות)
• גבול ישר (תורת הקטגוריות)
• פונקטור מיוצג
• אובייקט התחלתי ואובייקט סופי