קו-מכפלה (תורת הקטגוריות)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הקטגוריות, קו-מכפלה של אובייקטים בקטגוריה היא הכללה של בניות שונות במתמטיקה, כגון איחוד זר של קבוצות, מכפלה חופשית של חבורות, סכום ישר של מרחבים וקטוריים וכו'. במהותה, קו-מכפלה של זוג אובייקטים היא הקונספט הדואלי למכפלה (תורת הקטגוריות).

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח כי C היא קטגוריה וכי \,\{X_j|j \in I\} היא משפחה של אובייקטים ב-C. הקו-מכפלה של הקבוצה \,\{X_i\} היא אובייקט X ביחד עם אוסף מורפיזמים \,i_j: X_j \to X (הנקראות השיכונים הקנוניים, שהם לעתים קרובות, אם כי לא תמיד מונומורפיזמים) אשר מקיימים את התכונה האוניברסלית הבאה: לכל אובייקט Y ואוסף מורפיזמים \,f_j :X_j \to Y קיים מורפיזם יחיד \,f: X \to Y כך שלכל \,j \in I מתקיים f_j = f \circ i_j. במילים אחרות, לכל j הדיאגרמה הבאה היא דיאגרמה קומוטטיבית:

התכונה האוניברסלית של קו-מכפלה

במילים אחרות, X הוא אובייקט התחלתי בקטגוריה {}_{\{X_j\}}C = \left\{ (Z, \{ g_j : X_j \to Z \}) \ | \ \forall i : X , X_j \in \mathrm{Ob}(C) \ , \ g_j \in \mathrm{Mor}(Z,X_j) \right\} עם המורפיזמים המתאימים (כך שהדיאגרמה המתאימה קומוטטיבית).

אם משפחת האובייקטים מכילה רק שני איברים, נהוג לסמן את המכפלה ב\,X_1 \coprod X_2, ואז התכונה האוניברסלית מבוטאת על ידי הדיאגרמה הקומוטטיבית הבאה:

התכונה האוניברסלית של מכפלת זוג אובייקטים

המורפיזם היחיד f ההופך את הדיאגרמה לקומוטטיבית מסומן לעתים ב-f1f2 או f1f2 או f1 + f2 או [f1, f2].

באופן כללי, הקו-מכפלה של \,\{X_j|j \in I\} מסומנת

X = \coprod_{j \in I} X_j

ולעתים

X = \bigoplus_{j \in I} X_j.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • בקטגוריית הקבוצות, איחוד זר של קבוצות היא קו-מכפלה, כאשר השיכונים i_A ו-i_B הם פשוט ההכלות (כגון A \subset A \uplus B). בפרט, A \coprod B = A \uplus B, וזו הסיבה מדוע משתמשים לעתים בסימן ∐ לציין איחוד זר.
  • אפשר לבנות קו-מכפלה גם של קבוצות לא זרות באופן הבאה: אם A \cap B \ne \emptyset לוקחים קבוצה B' שוות עוצמה ל-B שזרה ל-A ואז בונים את האיחוד A \uplus B' עם שיכון i_{B'} \circ f כאשר f : B \to B' היא פונקציית שקילות של קבוצות.
  • קו-מכפלה בקטגוריה של חבורות אבליות היא סכום ישר של החבורות, ומסומנת G \oplus H.
  • קו-מכפלה בקטגוריה של מרחבים וקטוריים היא סכום ישר של המרחבים, ומסומנת  V = \bigoplus_{j \in I} V_j כאשר את איבריה ניתן להציג כקבוצת כל הסכומים הסופים של איברים מ-V, כלומר: שכמעט לכל j \in I האיבר שבא מ-V_j שווה לאפס. למשל: v_1 + v_2 \in \bigoplus_{n=1}^{\infty} V_n אך 0 + 0 + v_3 + v_4 + v_5 + ... = \sum_{n=3}^{\infty} v_j \notin \bigoplus_{n=1}^{\infty} V_n .
  • בקטגוריה של חוגים קומוטטיביים עם יחידה, המכפלה הטנזורית של A ו-B הםומנת ב A \otimes B היא קו-מכפלה, ביחד עם השיכונים הקנוניים a \mapsto a \otimes 1 \in A \otimes B ו-b \mapsto 1 \otimes b \in A \otimes B.

קיום ויחידות[עריכת קוד מקור | עריכה]

לא בכל קטגוריה C קיימת לכל משפחה \,\{X_j\} קו-מכפלה. אם קיימת המכפלה אז היא יחידה במובן הבא: אם \, i_j: X_j \to X ו-\,i'_j: X_j \to X' הן זוג מכפלות של המשפחה \,\{X_j\} אז קיים איזומורפיזם יחיד \,f:X \to X' כך ש i_j' = f \circ i_j.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]