מרחב קשיר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
(הופנה מהדף קשירות (טופולוגיה))
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Disambig RTL.svg המונח "קשירות" מפנה לכאן. לערך העוסק במושג בתורת הגרפים, ראו גרף קשיר.
המחשה גרפית למושג. המרחב העליון A קשיר, בעוד שהתחתון B אינו קשיר

בטופולוגיה, קשירוּת היא תכונה העשויה לאפיין מרחב טופולוגי: מרחב שאינו קשיר אפשר לפרק למרכיבים באופן השומר על התכונות הטופולוגיות, ולכן במקרים רבים די ללמוד את הטופולוגיה של מרחבים קשירים.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

זוג של קבוצות פתוחות זרות במרחב טופולוגי, שאיחודן שווה לכל המרחב, נקרא פירוק של המרחב. מרחב שאין לו פירוק לא טריוויאלי (כזה שבו אחת הקבוצות ריקה) נקרא מרחב קשיר.

מכיוון שהמשלים של קבוצה פתוחה הוא קבוצה סגורה, הקבוצות המהוות פירוק של המרחב הן גם סגורות. מכאן עולה שמרחב הוא קשיר אם ורק אם אי אפשר לכתוב אותו כאיחוד זר של שתי קבוצות סגורות זרות (לא ריקות). אותו טיעון מעיד על נוסח שקול נוסף: מרחב הוא קשיר אם ורק אם אין לו תת-קבוצה לא טריוויאלית (לא הקבוצה הריקה ולא המרחב כולו) שהיא פתוחה וסגורה כאחד.

תנאי נוסף השקול לקשירות הוא תכונת ערך הביניים, הקובעת שהמרחב מקיים גרסה מוכללת של משפט ערך הביניים.

תת-קבוצות קשירות[עריכת קוד מקור | עריכה]

תת-קבוצה A של מרחב X היא קשירה, אם היא מהווה מרחב קשיר בטופולוגיה היחסית שלה. כדי לתאר הגדרה זו במונחי הטופולוגיה של X, יש לעדן את מושג הפירוק: קבוצות לא ריקות U,V שהסגור של כל אחת מהן זר לשנייה, הן קבוצות מופרדות, והאיחוד שלהן מופרד. תת-קבוצה היא קשירה, אם ורק אם לא ניתן לכסות אותה באיחוד של קבוצות מופרדות, אלא אם היא מכוסה מלכתחילה על ידי אחד המרכיבים.

אם \ A\subseteq X קשירה, אז גם כל \ A\subseteq B\subseteq \textrm{Cl}(A) קשירה.

רכיבי קשירות[עריכת קוד מקור | עריכה]

תת-הקבוצות הקשירות המקסימליות של מרחב נקראות רכיבי קשירות, וכל מרחב טופולוגי מתפרק לאיחוד זר של רכיבי קשירות.

נקודות השייכות זו לקבוצה אחת וזו לאחרת בהפרדה של המרחב, נקראות נקודות מופרדות, והיחס "לא ניתנות להפרדה" הוא יחס שקילות. מחלקות השקילות של היחס הזה נקראות רכיבי קוואזי-קשירות. כל רכיב קשירות מכוסה על ידי אחד מרכיבי הקוואזי-קשירות של המרחב. אם למרחב יש רק רכיב קוואזי-קשירות יחיד, אז הוא קשיר (ולכן אין צורך להגדיר את המושג "מרחב קוואזי-קשיר").

קשירות מסילתית[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – מרחב קשיר מסילתית

מסילות במרחב הטופולוגי מאפשרות להגדיר גם יחסי שקילות עדינים יותר. כל תמונה רציפה של הקטע [0,1] במרחב נקראת מסילה, והקצוות שלה קשורים מסילתית. אם המסילה אינה חותכת את עצמה, היא נקראת קשת, והקצוות שלה קשורים קשתית. קשירות מסילתית וקשירות קשתית של נקודות הם יחסי שקילות, ויש להן מחלקות שקילות, הנקראות, בהתאמה, רכיבי קשירות מסילתית ורכיבי קשירות קשתית. מרחב קשיר מסילתית מקומית שבנוסף לכך הוא קשיר, הוא קשיר מסילתית. זה נובע מכך שבמרחב קשיר מסילתית מקומית, כל רכיב קשירות מסילתית הוא קבוצה פתוחה, לכן רכיבי קשירות שונים (שהם תמיד זרים זה לזה) יתנו פירוק לפתוחות זרות, בסתירה לקשירות. לכן במרחב כזה קיים רכיב קשירות מסילתית יחיד.

הקשר בין המרכיבים השונים[עריכת קוד מקור | עריכה]

רכיבי הקוואזי-קשירות במרחב הם הגדולים ביותר. כאמור, כל רכיב קוואזי-קשירות הוא איחוד של רכיבי קשירות. אלו, בתורם, הם איחוד של רכיבי קשירות מסילתית, ואת האחרונים אפשר לכתוב כאיחוד של רכיבי קשירות קשתית. יש דוגמאות המראות שהרכיבים (ויחסי השקילות המתאימים להם) עשויים להיות שונים זה מזה.

קשירות של מרחבים דומים[עריכת קוד מקור | עריכה]

תמונה רציפה של קבוצה קשירה היא קבוצה קשירה. בפרט, כל מרחב מנה של מרחב קשיר הוא מרחב קשיר.

המכפלה של מרחבים טופולוגיים היא קשירה אם ורק אם כל המרחבים המשתתפים במכפלה קשירים.

אם לכל פונקציה רציפה מהמרחב לעצמו יש נקודת שבת, אז המרחב קשיר (משום שאם \ X = A\cup B פירוק לקבוצות פתוחות, עם נקודות \ a\in A, b \in B, אז לפונקציה השולחת נקודות ב-A ל-b ונקודות ב-B ל-a אין נקודות שבת).

משפט הפרח[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם \ \left\{D_n\right\}_{n\isin\Lambda} היא משפחה של תת-קבוצות קשירות שהחיתוך של כל שתיים מהן לא ריק, אז \ D=\bigcup_{n\isin\Lambda}D_n גם קשירה. התוצאה נכונה גם כאשר מניחים רק שכל שתי קבוצות במשפחה אינן מופרדות.

מקורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • דניאלה ליבוביץ, טופולוגיה קבוצתית, פרק 4 (כרך ב'), הוצאת האוניברסיטה הפתוחה, 1997.
  • Counterexamples in Toplogy, L.A. Seen and J.A. Seebach Jr., Chapter 4.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]