מרחב קשיר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
(הופנה מהדף קשירות (טופולוגיה))
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Disambig RTL.svg המונח "קשירות" מפנה לכאן. לערך העוסק במושג בתורת הגרפים, ראו גרף קשיר.
המחשה גרפית למושג. המרחב העליון A קשיר, בעוד שהתחתון B אינו קשיר

קשירוּת היא תכונה העשויה לאפיין מרחב טופולוגי. היא מבחינה בין מרחבים שהם "חתיכה אחת" לבין מרחבים שאפשר לפרק לכמה מרכיבים שונים.

דוגמאות למרחבים קשירים: מרחב המספרים הממשיים (R), הקטע הממשי [0,1], המישור (R^2), ריבוע במישור. דוגמאות למרחבים לא קשירים: הישר הממשי שהוציאו ממנו נקודה אחת, האיחוד של שני הקטעים [0,1] ו-[2,3].

מרחב שאינו קשיר, אפשר לפרק למרכיבים באופן השומר על התכונות הטופולוגיות, ולכן במקרים רבים די ללמוד את הטופולוגיה של מרחבים קשירים.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

זוג של קבוצות פתוחות זרות במרחב טופולוגי, שאיחודן שווה לכל המרחב, נקרא פירוק של המרחב.

אם אחת משתי הקבוצות היא הקבוצה הריקה והשניה היא כל המרחב, הפירוק נקרא טריוויאלי.

מרחב שהפירוק היחיד שלו הוא הפירוק הטריוויאלי נקרא מרחב קשיר.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מרחב המספרים הממשיים הוא קשיר. אמנם אפשר להציג את R כאיחוד של שתי קבוצות, למשל R = (-\infty,0) \cup [0,\infty), אבל אחת מהן אינה קבוצה פתוחה ב-R.

מרחב המספרים הממשיים, שהוציאו ממנו את הראשית, אינו קשיר. ניתן להציג אותו כאיחוד של שתי קבוצות: (-\infty,0) \cup (0,\infty), ששתיהן פתוחות.

לעומת זאת, המישור, שהוציאו ממנו את הראשית (או אף קבוצה בת-מניה כלשהי של נקודות), הוא עדיין קשיר.

המרחב X=[0,1]\cup[2,3] אינו קשיר. ניתן להציג אותו כאיחוד של שתי הקבוצות [0,1], [2,3]. הקבוצות הללו הן אמנם סגורות ב-R אבל הן פתוחות במרחב X.

באופן כללי: תת-מרחב של R הוא קשיר, אם ורק אם הוא קטע.

מרחב המספרים הרציונליים אינו קשיר, וכך גם קבוצת קנטור.

הגדרות שקולות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מכיוון שהמשלים של קבוצה פתוחה הוא קבוצה סגורה, הקבוצות המהוות פירוק של המרחב הן גם סגורות. מכאן עולה שמרחב הוא קשיר אם ורק אם אי אפשר לכתוב אותו כאיחוד זר של שתי קבוצות סגורות זרות (לא ריקות).

אותו טיעון מעיד על נוסח שקול נוסף: מרחב הוא קשיר אם ורק אם אין לו תת-קבוצה לא טריוויאלית (לא הקבוצה הריקה ולא המרחב כולו) שהיא פתוחה וסגורה כאחד.

תנאי נוסף השקול לקשירות הוא תכונת ערך הביניים: מרחב X הוא קשור, אם ורק אם לכל פונקציה רציפה f מ-X אל R (המספרים הממשיים), התמונה f(X) היא קטע ב-R.

קשירוּת ורציפות[עריכת קוד מקור | עריכה]

תמונה רציפה של קבוצה קשירה היא קבוצה קשירה.

בפרט, כל מרחב מנה של מרחב קשיר הוא מרחב קשיר, כי העתקת המנה היא רציפה.

אם לכל פונקציה רציפה מהמרחב לעצמו יש נקודת שבת, אז המרחב קשיר (משום שאם \ X = A\cup B פירוק לקבוצות פתוחות, עם נקודות \ a\in A, b \in B, אז לפונקציה השולחת נקודות ב-A ל-b ונקודות ב-B ל-a אין נקודות שבת).

מכפלה של קבוצות קשירות[עריכת קוד מקור | עריכה]

המכפלה של מרחבים טופולוגיים היא קשירה אם ורק אם כל המרחבים המשתתפים במכפלה קשירים.

סגור ופנים של קבוצה קשירה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הסגור של קבוצה קשירה הוא קבוצה קשירה. מעבר לכך, אם \ A\subseteq X קשירה, אז גם כל \ A\subseteq B\subseteq \textrm{Cl}(A) קשירה. באופן פיגורטיבי: כאשר מוסיפים לקבוצה קשירה נקודות ה"נוגעות" בה, הקשירות אינה נפגמת.

לעומת זאת, הפנים של קבוצה קשירה הוא לא תמיד קבוצה קשירה. למשל, במישור, איחוד של שני מעגלים סגורים משיקים הוא קשיר, אבל הפנים של איחוד זה (שהוא איחוד של הפנימים של שני המעגלים) אינו קשיר.

איחוד וחיתוך של קבוצות קשירות[עריכת קוד מקור | עריכה]

איחוד של קבוצות קשירות, אינו בהכרח קשיר. למשל, האיחוד של שני קטעים פתוחים זרים ב-R, אינו קשיר.

אולם, אם חיתוכן של הקבוצות אינו ריק, אז איחודן הוא קשיר. כך קובע "משפט הפרח": אם \ \left\{D_n\right\}_{n\isin\Lambda} היא משפחה של תת-קבוצות קשירות שהחיתוך של כל שתיים מהן לא ריק, אז \ D=\bigcup_{n\isin\Lambda}D_n גם קשירה. לדוגמה, איחוד של ישרים במישור העוברים דרך הראשית (בצורת "פרח") הוא קשיר. התוצאה נכונה גם כאשר מניחים רק שכל שתי קבוצות במשפחה אינן מופרדות.

חיתוך של קבוצות קשירות אינו בהכרח קשיר. למשל, חיתוך של שני מעגלים במישור (שאינם משיקים) הוא שתי נקודות

תת-קבוצות קשירות[עריכת קוד מקור | עריכה]

תת-קבוצה A של מרחב X היא קשירה, אם היא מהווה מרחב קשיר בטופולוגיה היחסית שלה. כדי לתאר הגדרה זו במונחי הטופולוגיה של X, יש לעדן את מושג הפירוק: קבוצות לא ריקות U,V שהסגור של כל אחת מהן זר לשנייה, הן קבוצות מופרדות, והאיחוד שלהן מופרד. תת-קבוצה היא קשירה, אם ורק אם לא ניתן לכסות אותה באיחוד של קבוצות מופרדות, אלא אם היא מכוסה מלכתחילה על ידי אחד המרכיבים.

רכיבי קשירות[עריכת קוד מקור | עריכה]

תת-הקבוצות הקשירות המקסימליות של מרחב נקראות רכיבי קשירות, וכל מרחב טופולוגי מתפרק לאיחוד זר של רכיבי קשירות.

נקודות השייכות זו לקבוצה אחת וזו לאחרת בהפרדה של המרחב, נקראות נקודות מופרדות, והיחס "לא ניתנות להפרדה" הוא יחס שקילות. מחלקות השקילות של היחס הזה נקראות רכיבי קוואזי-קשירות. כל רכיב קשירות מכוסה על ידי אחד מרכיבי הקוואזי-קשירות של המרחב. אם למרחב יש רק רכיב קוואזי-קשירות יחיד, אז הוא קשיר (ולכן אין צורך להגדיר את המושג "מרחב קוואזי-קשיר").

קשירות מסילתית[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – מרחב קשיר מסילתית

מסילות במרחב הטופולוגי מאפשרות להגדיר גם יחסי שקילות עדינים יותר. כל תמונה רציפה של הקטע [0,1] במרחב נקראת מסילה, והקצוות שלה קשורים מסילתית. אם המסילה אינה חותכת את עצמה, היא נקראת קשת, והקצוות שלה קשורים קשתית. קשירות מסילתית וקשירות קשתית של נקודות הם יחסי שקילות, ויש להן מחלקות שקילות, הנקראות, בהתאמה, רכיבי קשירות מסילתית ורכיבי קשירות קשתית. מרחב קשיר מסילתית מקומית שבנוסף לכך הוא קשיר, הוא קשיר מסילתית. זה נובע מכך שבמרחב קשיר מסילתית מקומית, כל רכיב קשירות מסילתית הוא קבוצה פתוחה, לכן רכיבי קשירות שונים (שהם תמיד זרים זה לזה) יתנו פירוק לפתוחות זרות, בסתירה לקשירות. לכן במרחב כזה קיים רכיב קשירות מסילתית יחיד.

הקשר בין המרכיבים השונים[עריכת קוד מקור | עריכה]

רכיבי הקוואזי-קשירות במרחב הם הגדולים ביותר. כאמור, כל רכיב קוואזי-קשירות הוא איחוד של רכיבי קשירות. אלו, בתורם, הם איחוד של רכיבי קשירות מסילתית, ואת האחרונים אפשר לכתוב כאיחוד של רכיבי קשירות קשתית. יש דוגמאות המראות שהרכיבים (ויחסי השקילות המתאימים להם) עשויים להיות שונים זה מזה.


מקורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • דניאלה ליבוביץ, טופולוגיה קבוצתית, פרק 4 (כרך ב'), הוצאת האוניברסיטה הפתוחה, 1997.
  • Counterexamples in Toplogy, L.A. Seen and J.A. Seebach Jr., Chapter 4.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]