רדיוס עקמומיות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בגאומטריה, רדיוס העקמומיות, R , של עקום בנקודה הוא הרדיוס של המעגל המקרב בצורה הטובה ביותר את העקום בנקודה זו. רדיוס זה הוא ההופכי של העקמומיות בנקודה זו.

במקרה של עקום במרחב, רדיוס העקמומיות הוא האורך של וקטור העקמומיות.

במקרה של עקום במישור, R הוא הערך המוחלט של:

\frac{ds}{d\varphi} = \frac{1}{\kappa},

כאשר s הוא אורך הקשת מנקודה מסומנת, φ הוא הזווית שיוצר המשיק לעקום ו-\scriptstyle\kappa היא העקמומיות.

אם העקום נתון בקואורדינטות קרטזיות, אזי רדיוס העקמומיות הוא (בהנחה שהעקום גזיר לפחות פעמיים):

R =\left| \frac { \left(1 + y'^{\,2}\right)^{3/2}}{y''}\right|, 
\qquad\mbox{where}\quad
y' = \frac{dy}{dx},\quad y'' = \frac{d^2y}{dx^2},

כאשר | z | מסמל את הערך המוחלט של z.

אם העקום נתון באופן פרמטרי על ידי פונקציות (x(t ו-(y(t, אז רדיוס העקמומיות הוא :

R = \;\left|\frac{ds}{d\varphi}\right| \;= \;\left|\frac {\big({\dot{x}^2 + \dot{y}^2}\big)^{3/2}}{\dot {x}\ddot{y} - \dot{y}\ddot{x}}\right|,
\qquad\mbox{where}\quad
\dot{x} = \frac{dx}{dt},\quad\ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2},\quad 
\dot{y} = \frac{dy}{dt},\quad\ddot{y} = \frac{d^2y}{dt^2}.

מבחינה היוריסטית, תוצאה זאת ניתנת לפרשנות כך:

 R = \frac{\left|\mathbf{v}\right|^3}{\left| \mathbf{v} \times \mathbf{ \dot v} \right|},
\qquad\mbox{where}\quad
\left| \mathbf{v} \right| = \left| (\dot x, \dot y) \right| = R \frac{d\varphi}{dt}.

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור חצי מעגל ברדיוס a בחצי המישור העליון:


y=\sqrt{a^2-x^2}, \quad
y'=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}, \quad
y''=\frac{-a^2}{(a^2-x^2)^{3/2}},\quad
R=|-a| =a.

עבור חצי מעגל ברדיוס a בחצי המישור התחתון:


y=-\sqrt{a^2-x^2}, \quad
R=|a|=a.

למעגל ברדיוס a יש רדיוס עקמומיות ששווה ל-a.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]