רדיקל ג'ייקובסון

רדיקל ג'ייקובסון של חוג הוא אידיאל השווה לחיתוך כל האידיאלים השמאליים המקסימליים של החוג. ההגדרות השקולות הרבות הופכות את רדיקל ג'ייקובסון לרדיקל החשוב ביותר בתורת החוגים. כמו ברדיקלים אחרים, תפקידו של רדיקל ג'ייקובסון לתפוס את כל האיברים ה"קרובים" לאיבר האפס. לדוגמה, בחוג קומוטטיבי, כל האיברים הנילפוטנטים שייכים לרדיקל, ואם החוג גם נוצר סופית, הרדיקל עצמו נילפוטנטי.

חוג שרדיקל ג'ייקובסון שלו הוא אפס נקרא פרימיטיבי למחצה, והמנה ביחס לרדיקל היא תמיד כזו. כל חוג פרימיטיבי הוא פרימטיבי למחצה, וכל חוג פרימיטיבי למחצה הוא ראשוני למחצה.

הגדרה

הגדרה באמצעות מאפסים של מודולים פשוטים

מודול M מעל חוג R הוא פשוט אם אין לו תת-מודולים אמיתיים. המאפס של M (מסומן ב-(ann(M) הוא אוסף האיברים ב-R המאפסים את M, כלומר $\,ann(M) = \{x\in R:xM = 0\}$; המאפס של כל מודול הוא אידאל שמאלי.

רדיקל ג'ייקובסון של R (המסומן ב(J(R, ולפעמים ב-(rad(R) שווה לחיתוך המאפסים של המודולים הפשוטים מעל R. במילים אחרות, לרדיקל שייכים האיברים של R המאפסים את כל המודולים הפשוטים.

הגדרה באמצעות אידאלים שמאליים מקסימלים

כל מודול פשוט M מעל חוג R הוא מהצורה $\,R/m$ כאשר m הוא אידאל שמאלי מקסימלי, וגם ההיפך נכון. המאפס של מודול מהצורה $\,R/m$ שווה לm, ולכן קבוצת המאפסים של כל המודולים הפשוטים מעל חוג R שווה בדיוק לאוסף כל האידאלים המקסימלים השמאליים בחוג. לכן הרדיקל שהוגדר לעיל שווה גם לחיתוך כל האידאלים המקסימלים השמאליים בחוג.

יתרונה של ההגדרה הזו בכך שהיא "פנימית": היא תלויה רק במבנה של R עצמו, ואינה דורשת בניה של מודולים מעל R. בנוסף, על אף שההגדרה אינה סימטרית, בכך שהיא מתמקדת באידאלים מקסימלים שמאליים ולא ימניים, ניתן להוכיח כי שחיתוך האידאלים השמאליים המקסימלים שווה לחיתוך האידאלים הימניים המקסימלים. בפרט, רדיקל ג'ייקובסון של חוג הוא תמיד אידאל דו-צדדי.

הגדרה באמצעות אידיאלים פרימיטיביים

אידיאל של חוג הוא פרימיטיבי אם חוג המנה פרימיטיבי, כלומר יש לו מודול פשוט נאמן. רדיקל ג'ייקובסון שווה לחיתוך על האידיאלים הפרימיטיביים (ומכאן שאם החוג פרימיטיבי, הרדיקל שלו מתאפס).

הגדרה באמצעות איברים לא-יוצרים

איבר x של R הוא לא-יוצר אם אין אידאל שמאלי אמיתי $\ L<R$ כך ש- $\,L+Rx=R$ (במלים אחרות, x יוצר תת-מודול קטן של R, כמודול מעל עצמו). אוסף האיברים הלא יוצרים (שהוא סכום תת-המודולים הקטנים) שווה לרדיקל ג'ייקובסון של החוג.

הגדרה באמצעות איברים קוואזי-הפיכים

אם $\ 1-z$ הפיך משמאל בחוג, אומרים ש-z קוואזי-הפיך (משמאל). אידיאל קוואזי-הפיך הוא אידיאל שכל האברים שלו קוואזי-הפיכים.

רדיקל ג'ייקובסון הוא האידיאל הקוואזי-הפיך הגדול ביותר. (הוכחה: אם y איבר של הרדיקל אז הוא שייך לכל אידיאל שמאלי מקסימלי, ולכן $\ 1-y$ אינו שייך לאף אידיאל מקסימלי, ומכאן שהוא הפיך משמאל. כלומר, הרדיקל קוואזי-הפיך. מאידך, יהי L אידיאל שמאלי קוואזי-הפיך, אז הוא מוכל בכל אידיאל שמאלי מקסימלי, משום שאחרת יש $\ x \in L$ שאינו ב-m, ואז $\ 1 \in m + Rx$, כלומר $\ 1-yx \in m$ עבור y מתאים, בסתירה לכך ש-$\ 1-yx$ הפיך משמאל.)

בחוג עם יחידה, האיבר x הוא קוואזי-הפיך משמאל אם יש איבר y כך ש-$\ (1-y)(1-x)=1$, כלומר $\ x+y-xy=0$. אפשר לאמץ הגדרה זו גם אם בחוג אין יחידה: x הוא קוואזי-הפיך אם יש איבר y כך ש-$\ x+y-xy=0$. משום כך, גם בחוג שאין בו יחידה, רדיקל ג'ייקובסון מוגדר כאידיאל השמאלי הקוואזי-הפיך הגדול ביותר. חוג נקרא "רדיקל ג'ייקובסון" אם הוא שווה לרדיקל של עצמו.

דוגמאות

• אם k הוא שדה (או באופן יותר כללי - חוג עם חילוק), אז אין לו אידאלים שמאליים מקסימלים, ולכן הרדיקל שלו הוא אפס.
• בחוג חילופי, כל אידאל שמאלי הוא אידאל, ולכן רדיקל ג'ייקובסון של שווה לחיתוך האידאלים המקסימלים.
• בחוג המספרים השלמים $\,\mathbb{Z}$, האידאלים המקסימלים הם האידאלים $\,p\mathbb{Z}$, כאשר p הוא מספר ראשוני. לכן, מספר שלם שייך לרדיקל ג'ייקובסון של חוג השלמים, אם ורק אם הוא מתחלק בכל מספר ראשוני, ולכן רדיקל ג'ייקובסון של חוג השלמים שווה ל0.
• הרדיקל של חוג הפולינומים מעל תחום שלמות הוא אפס.
• אם R הוא חוג מקומי (חילופי) אז לR אידאל מקסימלי יחיד m, ולכן $\,J(R) = m$.
• לכל חוג R, $\ J(\operatorname{M}_n(R)) = \operatorname{M}_n(R)$.

תכונות של הרדיקל

הרדיקל תורשתי: לכל אידאל I של חוג R מתקיים $\ J(I) = I \cap J(R)$.

רדיקל ג'ייקובסון מכיל כל אידיאל שמאלי נילי (משום שאיברים ניליים הם קוואזי-הפיכים), ולכן גם את הרדיקל הנילי העליון של החוג. אחת השאלות העיקריות באשר לרדיקל ג'ייקובסון היא מתי הוא בעצמו נילי (וטוב יותר - נילפוטנטי). הרדיקל אינו מוכרח להיות נילי (למשל, הרדיקל של תחום שלמות מקומי שווה לאידיאל המקסימלי שלו, ואין בו מחלקי אפס).

בהקשר זה הוכיח שמשון עמיצור שאם R הוא אלגברה מעל שדה k שעוצמתו גדולה מן המימד של R מעליו, אז הרדיקל נילי, וכן שרדיקל ג'ייקובסון של חוג פולינומים $\ R[x]$ הוא תמיד מהצורה $\ I[x]$ כאשר I אידיאל נילי של R.

רדיקל ג'ייקובסון אינו מכיל אידמפוטנטים (פרט כמובן לאפס). אם R הוא אלגברה מעל שדה, האיברים האלגבריים ברדיקל הם כולם נילפוטנטים.

אחד השימושים הראשונים לרדיקל היה תנאי הקומוטטיביות של ג'ייקובסון (1945): חוג שבו לכל איבר a יש n כך ש-$\ a^n=a$, הוא קומוטטיבי.

פרימיטיביות למחצה

חוג R נקרא פרימיטיבי למחצה (לפעמים גם "J-פשוט למחצה") אם רדיקל ג'ייקובסון שלו הוא אפס. כל חוג פרימיטיבי הוא פרימיטיבי למחצה, וכל חוג פרימיטיבי למחצה הוא ראשוני למחצה. יש חוגים ראשוניים שאינם פרימיטיביים למחצה (למשל - חוג המספרים ה-p-אדיים), חוגים פרימיטיביים למחצה שאינם ראשוניים (למשל $\ \mathbb{Q}\oplus \mathbb{Q}$), וחוגים ראשוניים ופרימיטיביים למחצה שאינם פרימיטיביים (למשל חוג הפולינומים מעל שדה).

חוגי הילברט

חוג חילופי R נקרא חוג הילברט (או חוג ג'ייקובסון) אם כל אידאל ראשוני בR שווה לחיתוך של קבוצה כלשהי (לא דווקא סופית) של אידאלים מקסימלים בR. במקרה כזה, חיתוך כל האידאלים המקסימלים בחוג שווה לחיתוך כל האידאלים הראשוניים בו. אך חיתוך כל האידאלים הראשוניים בחוג חילופי שווה לאוסף האיברים הנילפוטנטים בחוג, ולכן רדיקל ג'ייקובסון של חוג הילברט שווה לאוסף האיברים הנילפוטנטים שבו. למשל, אם k הוא שדה אז חוג הפולינומים בn משתנים מעל k - $\,k[x_1,\dots,x_n]$ הוא חוג הילברט (במקרה שk שדה סגור אלגברית, עובדה זו נובעת ישירות ממשפט האפסים של הילברט, ומשמעותה הגאומטרית היא שיריעה אלגברית אי פריקה שווה לאוסף הנקודות שעליה). לפיכך, כיוון שחוג זה הוא תחום שלמות, הרי ש $\,rad(k[x_1,\dots,x_n]) = 0$. מנה של חוג הילברט היא חוג הילברט, ולפיכך רדיקל ג'ייקובסון של כל אלגברה אפינית שווה ל0. את הקשר ההדוק בין חוגי הילברט לרדיקל ג'ייקובסון של חוג ניתן לנסח כך: חוג חילופי R הוא חוג הילברט אם ורק אם לכל אידאל ראשוני p בR, רדיקל ג'ייקובסון של חוג המנה R/p שווה ל0. עובדה זו נובעת ישירות מההתאמה בין אידאלים מקסימלים בחוג המנה לאידאלים מקסימלים בR המכילים את p.

הלמה של נקאימה

ערך מורחב – הלמה של נקאימה

ראיה נוספת לעובדת היותם של איברי רדיקל ג'ייקובסון קרובים ל0 ניתנת על ידי הלמה של נקאימה: אם M הוא R-מודול נוצר סופית ואם $\,rad(R)\cdot M = M$ אז $\,M=0$. יתר על כן, אם N תת-מודול של M כך שמתקיים $\,rad(R)\cdot M + N = M$ אז בהכרח $\,N=M$. מכך נובע כי לכל R-מודול נוצר סופית M, תת-המודול $\,rad(R)\cdot M$ הוא "קטן מאוד".

בעיות פתוחות

בעיית קתה

לבעיית קתה ניסוחים רבים, מהם הקשורים ברדיקל של ג'ייקובסון. למשל, הבעיה שקולה לכך שחוג הפולינומים מעל חוג נילי יהיה תמיד רדיקל ג'ייקבסון (של עצמו); וגם לכך שאם חוג הפולינומים מעל R פרימיטיבי למחצה, אז הרדיקל הנילי העליון של R הוא אפס.

השערת ג'ייקובסון

ג'ייקובסון שער שאם R נתרי שמאלי אז הרדיקל $\ J = J(R)$ מקיים $\ \cap_{n=0}^{\infty} J^n = 0$. תכונה זו הוכחה עבור מחלקות שונות של חוגים, אך היא אינה ידועה אפילו עבור החוגים שהם נתריים גם מימין וגם משמאל.

רדיקל ג'ייקובסון של אלגברות חבורה

אחת הבעיות המרכזיות לגבי המבנה של אלגברות חבורה (של חבורות אינסופיות) היא השאלה האם האלגברה פרימיטיבית למחצה. המתמטיקאי הישראלי שמשון עמיצור הראה שהתשובה חיובית אם k ממאפיין אפס ואינו אלגברי. במקרה ש-k הוא שדה אלגברי מעל הרציונליים, הבעיה עדיין פתוחה. אם השדה ממאפיין p ואין לחבורה איברים מסדר p, אז אלגברת החבורה פרימיטיבית למחצה אם השדה אינו אלגברי מעל תת-השדה הראשוני, וגם אם החבורה פתירה.

לקריאה נוספת

• T.Y. Lam. A First Course in Non-commutative Rings. Graduate Texts in Mathematics vol 131.
• M.F. Atiyah, I.G. Macdonald. Introduction to Commutative Algebra.
• N. Bourbaki. Éléments de Mathématique.