רדיקל של אידאל

בתורת החוגים, הרדיקל של אידאל A בחוג הוא החיתוך של כל האידאלים הראשוניים המכילים את A. בחוג קומוטטיבי, הרדיקל כולל את כל האיברים שחזקה כלשהי שלהם שייכת ל- A, ועל-כן מסמנים את הרדיקל של A בסימון $\ \sqrt{A}$. באופן פורמלי:

$\ \sqrt{A} = \left\{ f \in \textrm{Ring } | \exist 1 \le n \in \mathbb{N} : f^n \in A \right\}$.

בפרט, רדיקל של אידאל הוא אידאל בעצמו, ומתקיים $A \subseteq \sqrt{A}$.

אידאל השווה לרדיקל שלו הוא "אידאל רדיקלי". הרדיקל של כל אידאל הוא רדיקלי (כלומר, $\ \sqrt{\sqrt{A}} = \sqrt{A}$).

בחוג השלמים, הרדיקל של האידאל $\ n\mathbb{Z}$ נוצר על ידי הרדיקל של n: מכפלת הראשוניים השונים המחלקים את n. לדוגמה, $\ \sqrt{180\mathbb{Z}} = 30 \mathbb{Z}$. מושג הרדיקל של אידאל מכליל, לפיכך, את הרדיקל של מספרים שלמים.

בגאומטריה אלגברית, הקשר בין עצמים גאומטריים לאידאלים מתקבל מהתאמה חד-חד-ערכית בין אידאלים רדיקליים של חוג הפולינומים $\ F[\lambda_1,\dots,\lambda_n]$ לבין יריעות אלגבריות. (ראו גם - משפט האפסים של הילברט).