רדיקל של אידאל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החוגים, הרדיקל של אידאל A בחוג R הוא החיתוך של כל האידאלים הראשוניים המכילים את A. בחוג קומוטטיבי, הרדיקל כולל את כל האיברים שחזקה כלשהי שלהם שייכת ל- A, ועל-כן מסמנים את הרדיקל של A בסימון \ \sqrt{A}. הרדיקל הוא אידיל בעצמו, ותמיד A \subseteq \sqrt{A}.

הרדיקל של כל אידאל הוא אידאל רדיקלי, כלומר שווה לרדיקל של עצמו. כל אידאל ראשוני הוא רדיקלי, אבל ההיפך אינו נכון (\ 6\mathbb{Z} רדיקלי אבל אינו ראשוני).

הקשר בין אידאלים רדיקליים של חוג הפולינומים \ F[\lambda_1,\dots,\lambda_n] לבין יריעות אלגבריות הוא אחד הרעיונות היסודיים בגאומטריה אלגברית (ראו גם - משפט האפסים של הילברט).

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • אם I,J אידאלים בחוג R וI\subseteq J, אז \sqrt { I } \subseteq \sqrt { J } .
  • לכל שני אידאלים I,J מתקיים \sqrt { I+J } =\sqrt { \sqrt { I } +\sqrt { J }  } .

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • לכל חוג R, הרדיקל של ({ x }^{ 2 }) בחוג הפולינומים R[x] הוא (x).