רזולוציה (אלגברה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, רזולוציה היא סדרה של מודולים, עם העתקות ביניהם, המייצגת מודול נתון. רזולוציות הן אחד המושגים הטכניים המרכזיים באלגברה הומולוגית.

אם לכל המודולים ברזולוציה נתונה יש תכונה מסוימת, אומרים שלרזולוציה יש את אותה התכונה. רזולוציות נפוצות הן רזולוציות חופשיות, רזולוציות פרויקטיביות, רזולוציות אינג'קטיביות ורזולוציות שטוחות.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

רזולוציה של מודול M מעל חוג R היא סדרה מדויקת מאחת מהצורות הבאות:

\,0\rightarrow M\rightarrow E_0 \rightarrow E_1 \dots \rightarrow E_n \rightarrow \dots
\,\dots E_n \rightarrow \dots E_1 \rightarrow E_0 \rightarrow M \rightarrow 0

הרזולוציה נקראת סופית אם לכל n גדול מספיק מתקיים \,E_n = 0.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

לכל מודול יש רזולוציה חופשית (כלומר, רזולוציה שבה לכל n, המודול \,E_n הוא חופשי). בפרט, לכל מודול יש רזולוציה פרויקטיבית. לכל מודול יש גם רזולוציה אינג'קטיבית. רזולוציות פרויקטיביות ואינג'קטיביות משמשות להגדרת פונקטורים נגזרים.

מדיוק הסדרות לעיל נובע כי אפשר למחוק את המודול M, מבלי לאבד מידע. במקרה הראשון, M איזומורפי לגרעין של ההעתקה בין \,E_0\rightarrow E_1. במקרה השני, M איזומורפי לקו-גרעין של ההעתקה \,E_1 \rightarrow E_0

קוואזי-איזומורפיזם[עריכת קוד מקור | עריכה]

העתקת קומלפקסים \,f:C\rightarrow D נקראת קוואזי-איזומורפיזם אם לכל מספר טבעי i, ההעתקה המושרית על ההומולוגיה \,H^i(f):H^i(C)\rightarrow H^i(D) היא איזומורפיזם. בעזרת טרמינולוגיה זו, נוכל להגדיר באופן כללי שקומפלקס P הוא רזולוציה של קומפלקס M אם קיים קוואזי-איזומורפיזם \,f:P\rightarrow M או \,f:M\rightarrow P. לדוגמה, בהינתן מודול M ורזולוציה פרויקטיבית \,\dots\rightarrow P^2 \rightarrow P^1 \rightarrow P^0 \rightarrow M \rightarrow 0 \rightarrow \dots ההעתקה \,P^0 \rightarrow M משרה קוואזי-איזומורפיזם בין הקומפלקס \,\dots \rightarrow P^2 \rightarrow P^1 \rightarrow P^0 \rightarrow 0 \rightarrow \dots (שנקרא רזולוציה של M) לבין הקומפלקס \,\dots\rightarrow 0 \rightarrow M \rightarrow 0 \rightarrow \dots המהווה ייצוג של M כקומפלקס. תחת הגדרה זו ניתן להוכיח שלכל קומפלקס M החסום מלמעלה (כלומר \,M^i = 0 לכל i גדול מספיק) יש רזולוציה פרויקטיבית (כלומר קוואזי-איזומורפיזם מקומפלקס חסום מלמעלה המורכב כולו ממודולים פרויקטיביים). בדומה, לכל קומפלקס חסום מלמטה יש רזולוציה אינג'קטיבית.

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Rotman, Joseph J. (1979), An introduction to homological algebra, Pure and Applied Mathematics, 85, Boston, MA: Academic Press
  • Weibel, Charles A. (1994), An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38, Cambridge University Press,