רמה של שדה

בתורת השדות, הרמה של שדה F, המסומנת $s(F)$, היא המספר הקטן ביותר $\ell$ כך ש-$-1$ הוא סכום של $\ell$ ריבועים. לפי משפט ארטין-שרייר, שדה הוא ניתן לסידור אם ורק אם הרמה שלו אינסופית. חישוב הרמה של שדה הוא בדרך כלל בעיה אריתמטית קשה.

הגדרה

יהי $\mathbb {F}$ שדה. האורך של כל $a\in \mathbb {F}$ הוא המספר המינימלי $\ell$ עבורו $a$ הוא סכום של $\ell$ ריבועים. אם אין מספר כזה, נאמר שהאורך הוא אינסופי. הרמה של השדה היא האורך של $-1$, ומסמנים אותה $s(\mathbb {F} )$

אלברט פיסטר הוכיח שהרמה של שדה היא או אינסוף או חזקה של 2. לכל חזקת 2 אכן קיים שדה שזו הרמה שלו, לפי המשפט הבא של פיסטר:

משפט (Pfister): שדה הפונקציות הרציונליות של היריעה הפרויקטיבית האלגברית הנתונה על ידי המשוואה $x_{0}^{2}+...+x_{2n}^{2}=0$ הוא מרמה $s(\mathbb {F} )=2^{n}$.

שדות מסוג זה היו הדוגמאות הראשונות לשדות מרמה שגדולה מ-4, ובמובן מסוים הם השדות היחידים מרמה גדולה מ-4 הידועים עד היום.

דוגמאות

• משפט ארטין-שרייר קובע כי שדה הוא ניתן לסידור אם ורק אם $-1$ איננו סכום של ריבועים, כלומר הרמה שלו אינסופית.
• הרמה של שדה סופי מסדר $n$ היא $1$ אם $n=1({\bmod {4}})$ ו-$2$ אם $n=3({\bmod {4}})$.
• הרמה של שדה מספרים מהצורה $\mathbb {Q} [{\sqrt {-d}}]$ כאשר $d$ מספר טבעי שהוא סכום של שלושה ריבועים היא 4.
• האורך של סכום ריבועים בשדה גלובלי הוא לכל היותר 4, ולכן הרמה היא 1,2 או 4 או אינסוף.
• מתקיים $s(\mathbb {F} )=s(\mathbb {F} (t))=s(\mathbb {F} ((t)))$.
• אם הרמה של שדה לא ממשי היא $2^{r}$, אז חוג ויט $W(\mathbb {F} )$ הוא בעל פיתול $2^{r+1}$.
• הרמה של הרחבה לא-ממשית סופית של $\mathbb {R} ((x_{1},\dots ,x_{n}))$ היא לכל היותר $2^{n-1}$.

רמה ביחס לתבנית ריבועית

יהי $\mathbb {F}$ שדה ו-$q$ תבנית ריבועית מעל $\mathbb {F}$. הרמה של השדה ביחס לתבנית היא המספר המינימלי $\ell$ עבורו $-1$ הוא סכום של $\ell$ ערכים של $q$, כלומר $-1=q(x_{1})+...+q(x_{l})$ (ואינסוף אם אין ערכים כאלה). הרמה של השדה היא הרמה ביחס לתבנית $q(x)=x^{2}$, והאורך של איבר $a$ הוא הרמה ביחס לתבנית $q(x)=a^{-1}x^{2}$. את הרמה ביחס לתבנית נסמן $s_{q}(\mathbb {F} )$.

מתקיימות התכונות הבסיסיות הבאות:

• $1\leq s_{q}(\mathbb {F} )\leq s(\mathbb {F} )+1$.
• אם $\mathbb {K} /\mathbb {F}$ הרחבת שדות אז $s_{q}(\mathbb {F} )\geq s_{q}(\mathbb {K} )$, לכל תבנית משדה הבסיס.
• אם ההרחבה לעיל מממד אי-זוגי, אז יש שוויון - $s_{q}(\mathbb {F} )=s_{q}(\mathbb {K} )$
• בדומה לרמה הרגילה, אם $\mathbb {K} /\mathbb {F}$ הרחבה טרנסצנדנטית אז $s_{q}(\mathbb {F} )=s_{q}(\mathbb {K} )=s_{q}(\mathbb {K} ((t)))$.

אם $\mathbb {K} /\mathbb {F}$ הרחבת שדות ריבועית, ונניח $\mathbb {K} =\mathbb {F} [{\sqrt {a}}]$, אז מתקיים $s(K)=s_{\langle 1,-a\rangle }(\mathbb {F} )=s_{\langle \langle a\rangle \rangle }(\mathbb {F} )$, כאשר $\langle \langle \cdot \rangle \rangle$ היא תבנית פיסטר.

ביתר כלליות, אם $Q=(a,b)_{2}$ אלגברת קווטרניונים מעל $\mathbb {F}$ אז $s(Q)=s_{\langle \langle a,b\rangle \rangle }(\mathbb {F} )$.

אם $\phi$ תבנית פיסטר אז $s_{\phi }(\mathbb {F} )$ הוא או אינסוף או חזקת 2. במקרה של הרחבת שדות ריבועית $\mathbb {K} /\mathbb {F}$ עם $\mathbb {K} =\mathbb {F} [{\sqrt {a}}]$, אז $\ell _{\phi }(-a)\leq 2s_{\phi }(\mathbb {K} )$.

שאלת הרמה

שאלת הרמה (The level question) שואלת האם קיים שדה בעל מספר מחלקות ריבועים $q(\mathbb {F} )=|\mathbb {F} ^{\times }/\mathbb {F} ^{\times ^{2}}|$ סופי, שהרמה שלו $4<s(\mathbb {F} )<\infty$. שאלה זו נשארה פתוחה עד היום. בכל זאת, ישנן מספר תוצאות משניות (למקור ראו בקריאה נוספת).

משפט (Djokovic): אם $\mathbb {F}$ שדה בעל רמה $8\leq s<\infty$ אז מתקיים:

$q(\mathbb {F} )\geq 2\sum _{i=1}^{s/2}{\frac {1}{s-i+2}}\cdot {{s+1} \choose i}>{\frac {2^{s+2}}{s}}$

עבור $s=8,16$ מתקבלות תוצאות טובות יותר:

משפט:

• אם $s(\mathbb {F} )=8$ אז $q(\mathbb {F} )\geq 2^{9}$.
• אם $s(\mathbb {F} )=16$ אז $q(\mathbb {F} )\geq 2^{15}$.

ראו גם

• משפט ארטין-שרייר

לקריאה נוספת

• Level of a field and the number of square classes, Dragomir Ž. Djoković, 1974
• On the Number of Square Classes of a Field of Finite Level, Karim Johannes Becher, 2011
• Sums of values represented by a quadratic form, G. Berhuy, N. Grenier-Boley, M. G. Mahmoudi, 2011