רציפות במידה אחידה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באנליזה מתמטית, רציפות במידה אחידה (בקיצור, רציפות במ"א) היא תכונה של משפחה של פונקציות רציפות במידה שווה בקטע. במשפחה שבה התכונה מתקיימת, אם \ y קרוב ל- \ x אז \ f(y) קרוב ל-\ f(x) לכל הפונקציות במשפחה בבת אחת.

הגדרה: משפחה \mathcal{F} = \{f(x)\} של פונקציות רציפות ממרחב מטרי קומפקטי  X עם מטריקה  d למרחב מטרי  Y עם מטריקה  \rho נקראת רציפה במידה אחידה, אם לכל \ \varepsilon > 0 קיים \ \delta >  0 (התלוי ב-\ \varepsilon בלבד), כך שלכל \ f \in \mathcal{F} ולכל \,x,y \in X, אם \!\, d(x,y) < \delta אז \ \rho(f(x),f(y)) < \varepsilon.

תוצאה יסודית באנליזה פונקציונלית הנוגעת לתכונה זו היא משפט ארזלה אסקולי, שקובע שלקבוצה חסומה של פונקציות ממשיות ורציפות על קטע קומפקטי יש תת-סדרה המתכנסת במידה-שווה אם ורק אם איבריה רציפים במידה אחידה. מסקנה מידית היא שאם קבוצה זו אינה רק חסומה אלא גם סגורה, אז היא קומפקטית אם ורק אם איבריה רציפים במידה אחידה.

P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.