שבר חלקי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה, פירוק לשברים חלקיים של פונקציה רציונלית מבטא את הפונקציה כסכום של שברים, כאשר:

פירוק לשברים חלקיים הוא שימושי בתחומים רבים, למשל במציאת פונקציות קדומות (ראו אינטגרציה בשברים חלקיים).

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

גורם ריבועי פריק במכנה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח וברצוננו לפרק את השבר

{x+3 \over x^2-3x-40}\,

לשברים חלקיים. המכנה בבירור מתפרק לגורמים הבאים:

(x-8)(x+5)\,.

לפיכך, אנו מחפשים סקלרים A ו-B כך ש:

{x+3 \over x^2-3x-40}={x+3 \over (x-8)(x+5)}={A \over x-8}+{B \over x+5}.

דרך אחת למצוא את A ו-B היא על ידי "העלמת השברים", כלומר, הכפלת שני הצדדים במכנה המשותף (x − 8)(x + 5). זה מביא אותנו לביטוי הבא:

x+3=A(x+5)+B(x-8)\,.

נאסוף באגף הימני של המשוואה את אשר מוכפל ב-x ואת אשר לא.

x+3=(A+B)x+(5A-8B)\,.

מכיוון שיש שוויון בין שני אגפי המשוואה, ניתן להשוות את המקדמים של הביטויים הדומים.


\begin{matrix}
A & + & B & = & 1 \\
5A & - & 8B & = & 3
\end{matrix}

הפתרון לביטויים אלו הוא A = 11/13, B = 2/13. לפיכך, יש לנו את הפירוק הבא לשבר זה:

{x+3 \over x^2-3x-40}={11/13 \over x-8}+{2/13 \over x+5}.

גורם ריבועי בלתי פריק במכנה[עריכת קוד מקור | עריכה]

על מנת לפרק את השבר

{10x^2+12x+20 \over x^3-8}

לשברים חלקיים, ראשית נשים לב כי

x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\,.

ניתן לראות כי הביטוי x2 + 2x + 4 איננו פריק באמצעות מספרים ממשיים מכיוון שהדיסקרימיננטה של הביטוי היא שלילית. לכן, אנו מחפשים סקלרים A, B, C כך ש:

{10x^2+12x+20 \over x^3-8}={10x^2+12x+20 \over (x-2)(x^2+2x+4)}={A \over x-2}+{Bx+C \over x^2+2x+4}.

לאחר "העלמת השברים" אנו מקבלים

10x^2+12x+20=A(x^2+2x+4)+(Bx+C)(x-2)\,.

ניתן לסדר משוואה זו ולכתוב על פיה שלוש משוואות לינאריות בעלות שלושת הנעלמים A, B, C, כמו שעשינו בדוגמה הקודמת, אבל מכיוון שפתירת מערכת כזו של משוואות הופכת למעיקה ככל שמספר המשתנים גדל, אנו מנסים שיטה אחרת. הצבה של 2 במקום x במשוואה מעלימה את כל הביטוי הימני השני ואנו מקבלים

10\cdot 2^2+12\cdot 2+20=A(2^2+2\cdot 2+4)\,,

מכאן 12A = 84, לכן A=7 כך שקיבלנו

10x^2+12x+20=7(x^2+2x+4)+(Bx+C)(x-2)\,.

נציב 0 במקום x.

20=7(4)+C(-2)\,,

מכאן C=4. קיבלנו

10x^2+12x+20=7(x^2+2x+4)+(Bx+4)(x-2)\,.

נציב 1 במקום x.

10+12+20=7(1+2+4)+(B+4)(1-2)\,,

מכאן B=3. אם כך, הפירוק לשברים חלקיים של שבר זה הוא:

{10x^2+12x+20 \over x^3-8}={7 \over x-2}+{3x+4 \over x^2+2x+4}.

גורמים החוזרים על עצמם במכנה[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור שברים מהצורה הזו

{P(x) \over (x+2)(x+3)^5}

(כאשר P יכול להיות כל פולינום שהוא ממעלה נמוכה דיה), הפירוק לשברים חלקיים נעשה באופן הבא:

{A \over x+2}+{B \over x+3}+{C \over (x+3)^2}+{D \over (x+3)^3}+{E \over (x+3)^4}+{F \over (x+3)^5}.

דפוס זה של פירוק נכון גם עבור כל גורם ממעלה ראשונה אחר ומספר השברים הנ"ל תלוי במספר החזרות של הגורם במכנה.

לדוגמה, ניקח את השבר הבא:

{10x^2-63x+29 \over x^3-11x^2+40x-48}.

המכנה מתפרק באופן הבא:

x^3-11x^2+40x-48=(x-3)(x-4)^2\,.

הגורם ממעלה ראשונה (x − 4) חוזר על עצמו במכנה. לפיכך, הפירוק לשברים חלקיים נעשה בצורה הבאה:

{10x^2-63x+29 \over x^3-11x^2+40x-48}={10x^2-63x+29 \over (x-3)(x-4)^2}={A \over x-3}+{B \over x-4}+{C \over (x-4)^2}.

מכאן פותרים כמו בדוגמאות לעיל.

עבור שברים מהצורה הזו

{P(x) \over (x+2)(x^2+1)^5}

בעלי גורם ריבועי בלתי פריק במכנה (כאשר שוב, P יכול להיות כל פולינום שהוא ממעלה נמוכה דיה), הפירוק לשברים חלקיים נעשה באופן הבא:

{A \over x+2}+{Bx+C \over x^2+1}+{Dx+E \over (x^2+1)^2}+{Fx+G \over (x^2+1)^3}+{Hx+I \over (x^2+1)^4}+{Jx+K \over (x^2+1)^5}.

דפוס זה של פירוק נכון גם עבור כל גורם ריבועי בלתי פריק אחר ומספר השברים הנ"ל תלוי במספר החזרות של הגורם במכנה.

פירוק השבר באמצעות משפט השאריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

באופן כללי יותר, בהינתן {P_{n-1}(z) \over Q_n(z)} והקטבים של הפונקציה \lambda_1..\lambda_n. נסמן ב-q את הריבוי של כל קוטב ואז עבור ההצגה \sum_{i=1}^n {r_i \over (z-\lambda_i)^q}

המקדמים נתונים על ידי הנוסחה לחישוב שארית  r_i = \ Res(z_i,\lambda_i) = \lim _{z\to \lambda_i}{1 \over (q-1)!}{d^{q-1} \over dz^{q-1}}(z-\lambda_i)^q{P_{n-1}(z) \over Q_n(z)}

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]