שבר יסודי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

שבר יסודי (ידוע גם כשבר יחידה, או שבר אוניטרי מהמונח האנגלי unit fraction) הוא מספר רציונלי הנכתב בצורת שבר, שבו המונה שווה ל-1 והמכנה הוא מספר טבעי. שבר יסודי הוא לפיכך ההופכי של מספר טבעי, וצורתו \tfrac{1}{n}. דוגמאות לשבר יסודי הן \tfrac{1}{1}=1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{42}, וכיוצא באלה.

כל מספר רציונלי \tfrac{m}{n} ניתן לייצוג כסכום סופי של שברים יסודיים (לרוב בכמה אופנים).

ארבע פעולות החשבון[עריכת קוד מקור | עריכה]

תוצאת ההכפלה של שברים יסודיים היא שבר יסודי: \tfrac{1}{x}\times\tfrac{1}{y}=\tfrac{1}{xy} . לעומת זאת, פרי חיבור, חיסור או חילוק של שברים יסודיים, לא יהיה תמיד שבר יסודי.

סכומים סופיים של שברים יסודיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן ליצג כל מספר רציונלי חיובי כסכום של שברי יחידה, במספר דרכים שונות. לדוגמה,

\tfrac{4}{5}=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{20}=\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{10}.

בדומה ליוונים הקדמונים שלא קיבלו את קיומם של מספרים אי-רציונליים, המצרים הקדמונים לא הכירו בקיומם העצמאי של שברים כלליים. במקום זה, הציגו את כל השברים שלהם כסכום של שברים יסודיים. לכן, מספרים רציונליים המוצגים כסכום של שברים יסודיים נקראים שברים מצריים. אפילו בתקופתנו ישנה התעניינות בניתוח שיטותיהם וסיבותיהם של הקדמונים להעדפת ובחירת יצוג אחד על-פני אחר, ולחישובים שעשו עם יצוגים כאלה. גם לתורת המספרים המודרנית יש עניין רב בשברים מצריים; כך למשל השערת ארדש-גראהם והשערת ארדש-שטראוס עוסקות בסכומים של שברים יסודיים, כך גם ההגדרה של מספרים אור-הרמוניים.

בתורת החבורות הגאומטרית, חבורות משולש ממוינות לאוקלידיות, כדוריות והיפרבוליות בהתאמה לשאלה האם סכום מותאם של שברים יסודיים שווה, גדול או קטן מ-1.

טורים של שברים יסודיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

שברים יסודיים הם איבריהם של טורים אינסופיים מוכרים רבים. בכללם:

הם קירוב טוב ל-\ \gamma+\ln(n) (קבוע אוילר ועוד הלוגריתם הטבעי של n) כש-n גדול.
  • סכומם של השברים היסודיים שמכניהם הם המספרים הראשוניים הוא טור מתבדר, המהווה קירוב טוב לפונקציה \ln\ln n
\tfrac11+\tfrac12+\tfrac13+\cdots+\tfrac1n הם קירוב טוב ל-\displaystyle \ln(n) + \displaystyle\gamma (קבוע אוילר) כש-n עולה.

מטריצות של שברים יסודיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

מטריצת הילברט היא המטריצה שאיבריה נתונים על ידי הנוסחה

B_{i,j} = \tfrac1{i+j-1}.

למטריצה התכונה המעניינת שכל האיברים במטריצה ההופכית שלה הם מספרים שלמים. באופן דומה, המתמטיקאי ריצ'רדסון הגדיר מטריצה שאיבריה נתונים על ידי הנוסחה

C_{i,j} = \tfrac1{F_{i+j-1}},

כאשר F_i מסמל את האיבר ה-i-י בסדרת פיבונאצ'י. באופן אנלוגי הומוריסטי, הוא מכנה את המטריצה הזו "מטריצת פילברט", והיא בעלת אותה התכונה המעניינת של מטריצת הילברט.

שברים יסודיים בהסתברות וסטטיסטיקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהתפלגות האחידה הבדידה, כל ההסתברויות הן שברים יסודיים שווים.

שברים יסודיים בפיזיקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • במשך זמן מה, האמינו כי ערכו של קבוע המבנה הדק שווה לשבר היסודי \tfrac{1}{137}, אך כיום יודעים שסברה זו אינה נכונה.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]