שבר יסודי

שבר יסודי (ידוע גם כשבר יחידה, או שבר אוניטרי מהמונח האנגלי unit fraction) הוא מספר רציונלי הנכתב בצורת שבר, שבו המונה שווה ל-1 והמכנה הוא מספר טבעי. שבר יסודי הוא לפיכך ההופכי של מספר טבעי, וצורתו $\ \displaystyle {1\,\,} \over n$. דוגמאות לשבר יסודי הן $\ {\frac{1}{1}= 1}$, $\ \frac{1}{2}$, $\ \frac{1}{3}$, $\ \frac{1}{42}$, וכיוצא באלה.

כל מספר רציונלי $\ \frac{m}{n}$ ניתן לייצוג כסכום סופי של שברים יסודיים (לרוב בכמה אופנים).

אריתמטיקה יסודית

תוצאת ההכפלה של שברים יסודיים היא שבר יסודי:

$\frac{1}{x} \times \frac{1}{y} = \frac{1}{xy}$

לעומת זאת, פרי חיבור, חיסור או חילוק של שברים יסודיים, לא יהיה תמיד שבר יסודי:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x+y}{xy}$

$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{y-x}{xy}$

$\frac{1}{x} \div \frac{1}{y} = \frac{y}{x}$

חשבון מודולרי

לשברים יסודיים תפקיד חשוב בחשבון מודולרי. בעזרתם, ניתן להמיר חילוק מודולרי בחישוב של מחלק משותף מקסימלי. באופן מפורש, נניח שברצוננו לבצע חלוקה בגורם x, מודולו y. כדי שחלוקה ב-x תהיה מוגדרת היטב, מודולו x, y ו-y חיבים להיות מספרים זרים. עכשיו, באמצעות שימוש באלגוריתם האוקלידי המורחב לחישוב מחלק משותף מקסימלי אנו יכולים למצוא a ו-b כך שיתקיים

$\displaystyle ax + by = 1$,

ולכן

$\displaystyle ax \equiv 1 \pmod y$,

כלומר

$a \equiv \frac{1}{x} \pmod y$.

כך, כדי לחלק ב-x (מודולו y), כל שעלינו לעשות הוא להכפיל ב-a. a נקרא ההופכי כפלי מודולרי של x.

סכומים סופיים של שברים יסודיים

ניתן ליצג כל מספר רציונלי חיובי כסכום של שברי יחידה, במספר דרכים שונות. לדוגמה,

$\frac{4}{5} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{20} = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10}$.

בדומה ליוונים הקדמונים שלא קיבלו את קיומם של מספרים אי-רציונליים, המצרים הקדמונים לא הכירו בקיומם העצמאי של שברים כלליים. במקום זה, הציגו את כל השברים שלהם כסכום של שברים יסודיים. לכן, מספרים רציונליים המוצגים כסכום של שברים יסודיים נקראים שברים מצריים. אפילו בתקופתנו ישנה התעניינות בניתוח שיטותיהם וסיבותיהם של הקדמונים להעדפת ובחירת יצוג אחד על-פני אחר, ולחישובים שעשו עם יצוגים כאלה. גם לתורת המספרים המודרנית יש עניין רב בשברים מצריים; כך למשל השערת ארדש-גראהם והשערת ארדש-שטראוס עוסקות בסכומים של שברים יסודיים, כך גם ההגדרה של מספרים אור-הרמוניים.

בתורת החבורות הגאומטרית, חבורות משולש ממוינות לאוקלידיות, כדוריות והיפרבוליות בהתאמה לשאלה האם סכום מותאם של שברים יסודיים שווה, גדול או קטן מ-1.

טורים של שברים יסודיים

שברים יסודיים הם איבריהם של טורים אינסופיים מוכרים רבים. בכללם:

• הטור ההרמוני, הוא סכומם של כל השברים היסודיים החיוביים. הטור מתבדר, וסכומיו החלקיים

$\frac11+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n$

הם קירוב טוב ל-$\ \gamma+\ln(n)$ (קבוע אוילר ועוד הלוגריתם הטבעי של n) כש-n גדול.

• סכומם של השברים היסודיים שמכניהם הם המספרים הראושניים הוא טור מתבדר, אשר מהווה קירוב טוב לפונקציה $\ln\ln n$

$\frac11+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n$

הם קירוב טוב ל-$\displaystyle \ln(n)$ + $\displaystyle\gamma$ (קבוע אוילר) כש-n עולה.

• בעיית בזל עוסקת בסכום הריבועים של שברים יסודיים. המתמטיקאי לאונרד אוילר פתר את הבעיה והוכיח כי:

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$.

• קבוע אפרי, $\displaystyle\zeta(3)$, מוגדר כסכום החזקות השלישיות של שברים יסודיים.

מטריצות של שברים יסודיים

מטריצת הילברט היא המטריצה שאיבריה נתונים על ידי הנוסחה

$B_{i,j} = \frac1{i+j-1}$.

למטריצה התכונה המעניינת שכל האיברים במטריצה ההופכית שלה הם מספרים שלמים. באופן דומה, המתמטיקאי ריצ'רדסון הגדיר מטריצה שאיבריה נתונים על ידי הנוסחה

$C_{i,j} = \frac1{F_{i+j-1}}$,

כאשר $F_i$ מסמל את האיבר ה-i-י בסדרת פיבונאצ'י. באופן אנלוגי הומוריסטי, הוא מכנה את המטריצה הזו "מטריצת פילברט", והיא בעלת אותה התכונה המעניינת של מטריצת הילברט.

שברים יסודיים בהסתברות וסטטיסטיקה

בהתפלגות האחידה הבדידה, כל ההסתברויות הן שברים יסודיים שווים.

שברים יסודיים בפיזיקה

• רמות אנרגיית האלקטרון באטום מימן במודל האטום של בוהר פרופורציונליות לריבועים של שברים יסודיים, לכן רמות האנרגיה של הפוטונים שאטום מימן יכול לפלוט או לספוג תהיה פרופורציונלית להפרש הריבועים של שברים יסודיים, לפי המודל הזה.

• במשך זמן מה, האמינו כי ערכו של קבוע המבנה העדין שווה לשבר היסודי 1/137, אך כיום יודעים שסברה זו אינה נכונה.

קישורים חיצוניים

• Richardson, Thomas M. (2001). "The Filbert matrix". Fibonacci Quart. 39 (3): 268–275.