שדה אוקלידי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת השדות, שדה אוקלידי הוא שדה סדור, שבו לכל איבר חיובי יש שורש. לדוגמה, שדה המספרים הממשיים הוא אוקלידי, אבל שדה המספרים הרציונליים אינו אוקלידי. למרות הדמיון בשמות, אין לשדות אוקלידיים כל קשר עם חוגים אוקלידיים. השדות האוקלידיים הם מעין אנלוג סדור לשדות סגורים ריבועית, שבהם לכל האיברים יש שורש.

אם אפשר לסדר שדה נתון באופן שהוא יעשה אוקלידי, אז יש רק דרך אחת לסדר אותו (משום שריבוע מוכרח להיות חיובי בכל סדר אפשרי). כל שדה אוקלידי הוא שדה פיתגורי (סדור), משום שסכום של ריבועים הוא תמיד ריבועי. לעומת זאת, לא כל שדה פיתגורי סדור הוא אוקלידי. כל שדה סגור ממשית הוא אוקלידי.

כשמרחיבים שדה סדור בכל השורשים של איברים חיוביים, התוצאה היא שדה שגם אותו ניתן לסדר. אם חוזרים על התהליך, מתקבל באינדוקציה טרנספיניטית שדה אוקלידי, הנקרא הסגור האוקלידי של השדה המקורי. לדוגמה, הסגור האוקלידי של שדה המספרים הרציונליים מוכל בשדה המספרים הניתנים לבניה.