שדה סגור ממשית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

שדה סגור ממשית הוא שדה סדור, שאין לו הרחבות אלגבריות סדורות. הדוגמה המוכרת לשדות כאלה היא שדה המספרים הממשיים, ואכן, יש תכונות חשובות של שדה המספרים הממשיים שהן משותפות לכל השדות הסגורים ממשית.

שדה R הוא סגור ממשית אם ורק אם אין בו שורש ריבועי של מינוס אחת, וסיפוח השורש הזה מביא לשדה \ R[\sqrt{-1}] שהוא סגור אלגברית. שדה סדור הוא סגור ממשית אם ורק אם הוא אוקלידי ויש בו שורש לכל פולינום ממעלה אי-זוגית. בפרט, מכיוון שכל שדה סגור ממשית הוא אוקלידי, יש בו סדר יחיד.

הפונקציות הפולינומיות מעל שדה סגור ממשית הן רציפות, במובן המוכלל המתאים למשפט ערך הביניים: אם פולינום מקבל ערכים a,b בקצוות של קטע, אז הוא מקבל כל ערך בין a ל-b בתוך הקטע‏[1].

לכל שדה סדור יש סגור ממשי, שהוא הרחבה אלגברית סדורה גדולה ביותר המכילה אותו. שלא כמו בניית הסגור האלגברי, בניית הסגור הממשי אינה מצריכה את הלמה של צורן.

התורה הלוגית של שדות סדורים ממשית היא תורה שלמה, כריעה ו-o-מינימלית. בנוסף, תתי מבנים ותתי מבנים אלמנטרים הם היינו-הך בתורה זו (ז"א התורה היא model complete), מכיוון ש"עקרון טרסקי" מאפשר חילוץ כמתים בתורה מסדר ראשון שלהם (כשמוסיפים לשפת השדות את יחס הסדר). זוהי אבן היסוד לפתרון קצר ופשוט לבעיה השבע-עשרה של הילברט.

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ N. Jacobson, Lectures in Algebra III, Chapter