שיחה:טופולוגיה דיסקרטית

מטריקה דיסקרטית

בשורה 2 בערך : "המטריקה הדיסקרטית: תחת מטריקה זו, המרחק בין כל שתי נקודות קבוע" אבל לכאורה, קיימות מטריקות נוספות בהן המרחק בין 2 נקודות אינו קבוע ואעפ"כ כל קבוצה באותו מרחב מטרי היא פתוחה או במילים אחרות- כל נק' היא מבודדת. דוגמה למרחב מטרי כזה (מתוך ממ"נ בטופולוגיה) על הקרן $[1,\infty )$ נגדיר פונקציית מרחק $\!\ d(x,y)=x+y$ לכל $x\neq y$ ועבור $\!\ x=y$ כמובן $\!\ d(x,y)=0$ וכמובן יש דוגמאות פשוטות יותר, אם כן מטריקות אלו קובעות טופולוגיה דיסקרטית ומדוע המטריקה הדיסקרטית מוגדרת דווקא כמו בציטוט דלעיל??

קשה לי לחשוב על מטריקה פשוטה יותר שנותנת את הטופולוגיה הדיסקרטית מאשר המטריקה הדיסקרטית. בפרט, הטופולוגיה שהצגת מסובכת יותר, ואינה נתונה עבור מרחב כללי אלא עבור מקרה פרטי ספציפי. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 21:44, 27 בפברואר 2008 (IST)

התכוונתי שיש דוגמאות פשוטות יותר מהדוגמה שהבאתי (-רק משום שהיא מעניינת ולא משום פשטותה) כמובן יש דוגמאות פשוטות למקרה הכללי, אבל זה לא הנקודה! שאלתי היתה מדוע מגדירים כך מטריקה דיסקרטית משום שאין זה חיוני?

וזהו כבר המקום השני שאני נתקל בו שכך מגדירים טופולוגיה זו (בתור הגדרה - לא בתור דוגמה) (המקום הראשון הוא בספר הקורס טופולוגיה קבוצתית של הפתוחה)

כמובן ש"פשטות" היא מושג סובייקטיבי, אבל אם ננסה לכמת אותה אובייקטיבית, למשל בגודל המידע שדרוש כדי לייצג את המטריקה, או כמות הזמן הממוצעת שנדרשת כדי להבין את ההגדרה, אני לא מכיר אף מטריקה פשוטה יותר מהמטריקה הדיסקרטית - אתה מוזמן להציג אחת. אם שאלתך היא "למה מציגים בכלל מטריקה", התשובה שנראית לי סבירה היא שהדבר מראה שהמרחב הדיסקרטי הוא מטריזבילי. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 07:49, 28 בפברואר 2008 (IST)

נכון שיש מטריקות רבות שמשרות את הטופולוגיה הדיסקרטית (תרגיל: מצא קריטריון לכך), ועדיין, המטריקה שבה המרחק בין כל שתי נקודות שונות הוא 1 נקראת המטריקה הדיסקרטית. אפשר להמציא הגדרה חדשה - "מטריקה היא 'דיסקרטית' אם היא משרה את הטופולוגיה הדיסקרטית" (ללא הא הידיעה), אבל זה נראה קצת מיותר. עוזי ו. - שיחה 12:36, 28 בפברואר 2008 (IST)

כמובן שההגדרה הפשוטה ביותר תהיה "המטריקה שבה המרחק בין כל 2 נק' שונות הוא קבוע חיובי (למשל 1)" מה שהפריע לי (וזה בעצם לא כ"כ חשוב ואני מצטער על הטרחנות) שיש כמה טענות מיידיות על מרחבים מטריים דיסקרטיים בספר של האו"פ (למשל כל פונקציה ממרחב דיסקרטי למרחב מטרי כלשהו היא כמובן רציפה) אבל טענות אלו תקיפות בעצם לכל מרחב מטרי "בדיד" (שקובע את הטופולוגיה הדיסקרטית) ולכן עדיפה הגדרה כללית יותר ושאלתי הייתה האם מבחינה טופולוגית יש סיבה להגדיר כך מטריקה דיסקרטית (ללא קשר לפשטות ההגדרה).

חשבתי על קריטריון מספיק אבל לא הכרחי - מטריקה על קבוצה כלשהי וודאי משרה טופו' דיסקרטית אם קב' המרחקים בין איברים שונים בקבוצה לפיה, חסומה מלרע ע"י חסם חיובי אבל זה בוודאי לא תנאי הכרחי. יש קריטריון שהוא תנאי הכרחי ומספיק?

הקריטריון שלך קרוב להיות הכרחי ומספיק (חשוב על הקבוצות $\ \{1,1/2,1/3,...\}$ ו- $\ \{0,1,1/2,1/3,...\}$). כפי שכתבתי, אפשר היה לקרוא לכל מטריקה שמשרה את הטופולוגיה הדיסקרטית - "מטריקה דיסקרטית". אבל דווקא מנקודת מבט טופולוגית זה חסר טעם, כי ממילא כולן משרות את אותה טופולוגיה. זו הכללה שאין הרבה מה להרוויח ממנה. עוזי ו. - שיחה 00:39, 29 בפברואר 2008 (IST)

אוקיי, מנקודת מבט טופולוגית זה חסר משמעות אבל כשעסקנו (אני לומד עכשיו טופו' קבוצתית באו"פ) במרחבים מטריים זה דווקא עזר לי בתרגילים שונים..

כמובן שחשבתי מיד על הקבוצה $\ \{1,1/2,1/3,...\}$ זו דוגמה לכך שהקריטריון שהצגתי איננו הכרחי, הדוגמה השנייה שהעלת האירה את עינינו (אני מעיין בנושא עם חבר) והגענו לקריטריון הבא: מטריקה משרה מרחב דיסקרטי אמ"מ לא קיימת במרחב סדרה מתכנסת (אבל תיתכן סדרת קושי שאינה מתכנסת)

פניתי לערך בוויקיפדיה באנגלית דרך הקישור ומופיע שם נושא שלא מצאתי בוויקיפדיה בעברית (וגם לא בחומר הלימוד שלי) - "מרחבים אחידים" אם תרגמתי נכון "Uniform spaces" ומוסבר שם שלא כל מטריקה המשרה טופולוגיה דיסקרטית משרה מרחב אחיד דיסקרטי, למשל, הקבוצה $\ \{1,1/2,1/4,1/8,...\}$ והקריטריון שמופיע שם למטריקה דיסקרטית במ"ש (?) הוא הקריטריון שניסיתי להציג למעלה (על קבוצת המרחקים) (אגב, אני הוא האנונימי הטרחן מלמעלה) Orcc

הקריטריון על הסדרות נכון, אבל אינו מוצלח: הטופולוגיה עצמה היא דיסקרטית אם ורק אם לא קיימות בה סדרות מתכנסות (ללא קשר למטריקה). אני מציע: מטריקה משרה את הטופולוגיה הדיסקרטית אם ורק אם קבוצת המרחקים מכל נקודה חסומה הרחק מאפס. לגבי מרחבים אחידים, אתה מוזמן לתרגם את הערך (כדי שאפשר יהיה להמשיך את השיחה בדף השיחה החדש); זו אכן הכללה טבעית של מרחב מטרי בכלים טופולוגיים. עוזי ו. - שיחה 10:12, 29 בפברואר 2008 (IST)

אני מרגיש חוסר נוחות לגבי תרגום ערך, במיוחד משום שאינני מכיר את הנושא, תוכל להפנות אותי בבקשה למקורות שעוסקים בהרחבה במרחבים אחידים (עברית או אנגלית) ?? Orcc - שיחה 22:57, 2 במרץ 2008 (IST)

זה לא נושא שחייב להופיע אפילו ב-Textbook טופולוגי, אבל הייתי מנסה באקראי 3-4 ספרים על Point set topology. על המדף שלי אני מחזיק רק את Counterexamples in Topology, ושם יש פרק נחמד על הנושא. עוזי ו. - שיחה 23:05, 2 במרץ 2008 (IST)