שיחה:יחס שקילות

שאלה: האם ניתן להתיחס למספר טבעי כלשהו כמחלקת-שקילות?( לדוגמא 5 הוא מחלקת השקילות של כל מה שיש לו 5 איברים, וכו')? דורון שדמי 22:10, 26 מאי 2006 (IDT)

אני לא בטוח, אבל ההגדרה הזו, למרות שהיא אולי טובה בתור המחשה אינטואיטיבית נשמעת קצת בעייתית אם מנסים לראות אותה בצורה פורמלית. אני מכיר יחסי שקילות שמוגדרים רק על קבוצות ואילו "כל מה שיש לו 5 איברים" נשמע לי כמו מחלקה שאינה בהכרח קבוצה. מצד שני, אני לא מכיר את הנושא לעומק... גדי אלכסנדרוביץ' 22:22, 26 מאי 2006 (IDT)

אנסח את שאלתי כך: האם n הינו מחלקת-שקילות המוגדרת כ: "קבוצת כל הקבוצות שיש להן n איברים" ? אני יודע שראסל ניסה להגדיר באופן זה את מושג הכמות כיחס-שקילות. דורון שדמי 17:52, 27 מאי 2006 (IDT)

זה תלוי מי מגדיר. כל אחד יכול להגדיר מה שבא לו. ההגדרה שאני מכיר למספרים הטבעיים מתבססת על קבוצות שנבנות רקורסיבית, כשהבסיס הוא הקבוצה הריקה. להגדרה מעניינת אחרת אתה יכול לקרוא את On Numbers and Games של Conway. גדי אלכסנדרוביץ' 17:59, 27 מאי 2006 (IDT)

ראה נא את הקטע הבא מ-http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number

Arguably the oldest set-theoretic definition of the natural numbers is the definition commonly ascribed to Frege and Russell under which each concrete natural number n is defined as the set of all sets with n elements. This may appear circular, but can be made rigorous with care. Define 0 as $\{\{\}\}$ (clearly the set of all sets with 0 elements) and define $\sigma (A)$ (for any set A) as $\{x\cup \{y\}\mid x\in A\wedge y\not \in x\}$. Then 0 will be the set of all sets with 0 elements, $1=\sigma (0)$ will be the set of all sets with 1 element, $2=\sigma (1)$ will be the set of all sets with 2 elements, and so forth. The set of all natural numbers can be defined as the intersection of all sets containing 0 as an element and closed under $\sigma$ (that is, if the set contains an element n, it also contains $\sigma (n)$). This definition does not work in the usual systems of axiomatic set theory because the collections involved are too large (it will not work in any set theory with the axiom of separation); but it does work in New Foundations (and in related systems known to be consistent) and in some systems of type theory.

על סמך הנ"ל האם לא ניתן להסיק כי n הינו (בין-השאר) מחלקת-שקילות המוגדרת כ: "קבוצת כל הקבוצות שיש להן n איברים" ? דורון שדמי 21:59, 27 מאי 2006 (IDT)

אכן, מהכתוב ניתן להבין שאחת מהדרכים שבה מנסים להגדיר את n היא זו. כפי שכתוב גם שם, ההגדרה לא כל כך מסתדרת עם תורת הקבוצות האקסיומטית. גדי אלכסנדרוביץ' 22:32, 27 מאי 2006 (IDT)

אם ההגדרה לא מסתדרת עם ZF האם זוהי סיבה מספקת להשמיט כליל אפשרות זו מהמושג האנציקלופדי "יחס שקילות"? דורון שדמי 16:08, 28 מאי 2006 (IDT)

הפיסקה האחרונה

"פונקציה בין קבוצות מנה היא מוגדרת היטב אם ורק אם ערך הפונקציה אינו תלוי בבחירת הנציגים" אמנם הרבה פעמים מגדירים פונקציה בין מחלקות שקילות על ידי פעולה על נציגים ואז צריך לעבוד כדי להראות שמה שהגדרנו הוא באמת פונקציה אבל בעקרון פונקציה של מחלקות שקילות תלויה במחלקות שקילות (קבוצות) ולא באיבריהן. בנוסף המושג של "מוגדר היטב" הוא לא מתמטי (למרות שהוא מופיע במתמטיקה הרבה) אלא טכני לחלוטין- הגדרנו משהו ובמקום להודות שמראש זה סתם יחס אנו אומרים שזו פונקציה שאולי לא מוגדרת כמו שצריך. אני אשכתב את הפסקה הלז. יאיר ח. 20:50, 13 יוני 2006 (IDT)

משוב מ-5 בנובמבר 2013

יעיל! הגדרות ברורות, ההפניות (לנושאים בתורת הקבוצות) מקיפות מאוד את הנושא!  הודעה זו נכתבה באמצעות מערכת המשוב. 
134.191.232.69 17:07, 5 בנובמבר 2013 (IST)

משוב מ-5 בנובמבר 2013

יעיל! הגדרות ברורות, ההפניות (לנושאים בתורת הקבוצות) מקיפות מאוד את הנושא!  הודעה זו נכתבה באמצעות מערכת המשוב. 
134.191.232.68 17:07, 5 בנובמבר 2013 (IST)

מעניינים

"אפשר לומר שחלק נכבד מן המחקר המתמטי קשור בזיהוי וחישוב של יחסי שקילות מעניינים." מה זה הכוונה 'מעניינים'? אפק7 - שיחה 10:27, 30 בנובמבר 2020 (IST)

ניסחתי בצורה קצת פחות יומרנית (ועדיין זה קצת יותר מדי). יחסי שקילות מעניינים הם כאלו שאפשר ללמוד מהם משהו חדש. עוזי ו. - שיחה 21:39, 30 בנובמבר 2020 (IST)

תודה! אפק7 - שיחה 15:40, 14 בדצמבר 2020 (IST)