שיחה:מספר אי-רציונלי

הערה לדוד שי: לדעתי לא די בציון 2 הדוגמאות e (קבוע e של אוילר) ו-פאי בתוד מספרים טנסצנדנטיים. דבר זה דורש הוכחה !

מקובל עלי שהוכחת שיוך הקבועים הנ"ל לקבוצה (ת המספרים הטרנסצנדנטיים) לא ראויה להיכנס לערך "מספר אי-רציונלי". אך יש לציין זאת בכל זאת!

נא דעתך!, אילי 22:23, 29 יוני 2006 (IDT)

מן המפורסמות שכל קביעה מתמטית שאיננה אקסיומה זקוקה להוכחה, ולכן אין צורך לציין בערך שלפנינו שאין בו הוכחה - הקורא רואה זאת. דוד שי 22:30, 29 יוני 2006 (IDT)

תלוי מיהו הקורא. ע"ע להבדיל מהמקרה של: קבוע אוילר בו אין עדיין הוכחה. מה הנוהג בויקי כעת, הצבעה?? ,אילי 23:39, 29 יוני 2006 (IDT)

על מה אתה רוצה להצביע? גילגמש • שיחה 23:43, 29 יוני 2006 (IDT)

הנוהג בויקי (לפחות כך היה פעם) הוא להגיע לפשרה. ניסיתי לתקן את הערך כך שיהיה ברור שקיימת הוכחה (יש פירוט בערך על מספר טרנסנדנטי) אך לא להכביד יותר מדי. גדי אלכסנדרוביץ' 23:45, 29 יוני 2006 (IDT)

ובא לציון גואל! אילי 00:42, 30 יוני 2006 (IDT)

בעיה בהוכחה

ההוכחה ששורש של שתיים הוא מספר אי רציונלי היא לא טובה, כי היא מניחה שקיים בכלל מספר שמהווה שורש של שתיים. מי אמר שיש מספר כזה?

למשל, כל מי שבנה ריבוע שאורך האלכסון שלו הוא שתיים... ‏odedee • שיחה 20:26, 29 בדצמבר 2007 (IST)

נראה לי שנחוצה כאן תשובה מעמיקה יותר. האם הקביעה שלכל קטע מתאים מספר (כנובע מתשובתך) היא אקסיומה? משפט? ראוי שתופיע תשובה ברורה לכך בערך מספר. דוד שי 20:39, 29 בדצמבר 2007 (IST)

התהיה הזו שייכת לערך מספר ממשי, ולא לכאן. עוזי ו. 00:52, 30 בדצמבר 2007 (IST)

למה? המספרים הממשיים הם המספרים הרציונלים והאי רציונלים. קיומם של הרציונלים הוא ברור וקל, אבל קיומם של האי רציונלים הוא לא כל כך ברור. אז המקום להבהיר את זה הוא לא ערך על מספרים אי רציונלים?

אתה שואל "מנין שקיימים מספרים לא רציונליים". זו שאלה טובה, והתשובה תלויה בהגדרה שאתה בוחר ל"מספר". לפי ההגדרה שבערך הזה (ובכל מקור כתוב רציני), "מספר אי רציונלי" הוא סוג של מספר ממשי, ולהגדרה כזו אין משמעות בלי שיודעים מהו מספר ממשי. בבניה של שדה המספרים הממשיים עוסקים כמה וכמה ערכים (כל אחד מזווית אחרת); ללא שום קשר, אני לא חושב שיש מקום להרחיב על כך בערך הזה. עוזי ו. 18:54, 30 בדצמבר 2007 (IST)

טעות עובדתית

יש פה משפט לא נכון עובדתית: אם שורש של מספר טבעי אינו שלם אז הוא לא רציונלי. שורש 29 הוא רציונלי. הודעה זו נכתבה באמצעות מערכת המשוב. 
79.176.200.38 15:03, 1 באוקטובר 2011 (IDT)

האמנם? האם תוכל לכתוב כאן את השורש של 29 כשבר? דוד שי - שיחה 16:56, 1 באוקטובר 2011 (IDT)

אי-רציונליים חוץ משורש 2

בערך ניתן המקור מספרים ושורשים אי-רציונליים לטענה שהיוונים גילו שהשורש של מספר שלם, אם אינו שלם, הוא אי-רציונלי. זו אמנם טענה סבירה, אבל המקור אינו מספק. עוזי ו. - שיחה 18:25, 17 באפריל 2015 (IDT)

המקור השני, הסמוך, איאן סטיוארט, 'לאלף את האינסוף', גם הוא קביל לעניין זה. Dalila - שיחה 18:29, 17 באפריל 2015 (IDT)

טעות שלי, הטענה הזו אינה נאמרת בספר. אך להערכתי די מסתברת: מצוין למשל כי מחקרו של אבי תורת המספרים האי-רציונליים, אודוקסוס, עסק ביחסים במרחב, חקר צורות וכו' וכי מצא שיטה להציג את המספרים האי-רציונלים כיחסי אורכים - כמו, יחס בין צלע ריבוע היחידה ואלכסון הריבוע. ישנה גם התייחסות לשיטה קודמת לזו של אודוקסוס, של קירוב לשברים... לדעתי זה די מספיק, מכסה גם את עניין השורשים והשברים הלא שלמים, כך שהייתי סומכת על המקור הראשון, ד"ר יעל מדוידסון. Dalila - שיחה 20:53, 17 באפריל 2015 (IDT)

לפרוטוקול, שני המקורות לא מספקים אותי. לפי שבתאי אונגורו, "מבוא לתולדות המתמטיקה" חלק א', תיאודורוס מקירנה בן המאה הרביעית לפני הספירה, הוכיח (לפי פרוקלוס ) שהשורשים של 3,5,7,8,10,11,12,13,14,15,17 אינם רציונליים. כך שבאותו זמן התופעה הכללית בוודאי עוד לא היתה ידועה. בעוד שהוכחת אי-הרציונליות של כל שורש נתון אינה קשה, הוכחת הטענה הכללית דורשת הבנה מסויימת בתורת המספרים האלמנטרית, שאני לא יודע אם היתה ליוונים באותה תקופה. אם המשפט הכללי היה ידוע, הוא אמור להופיע בספר העשירי של יסודות, שנכתב כמה עשורים אחרי תיאודורוס. עוזי ו. - שיחה 21:42, 18 באפריל 2015 (IDT)

ביטול עריכות

Dalila ביטלה את שתי עריכותי בערך. אנמק אותן כעת:

• כרגע פתיח הערך הוא "מספר אי רציונלי הוא מספר ממשי שאינו מספר רציונלי, כלומר שלא ניתן להציגו כמנה של שני מספרים שלמים. מסיבה זו, הביטוי של מספר אי-רציונלי בהצגה עשרונית הוא תמיד אינסופי ולא מחזורי." אני מחקתי את המשפט השני שמתייחס לפיתוח העשרוני. זוהי מחיקה מוצדקת משתי סיבות. ראשית, כתוב "מסיבה זו" כאילו מדובר בקישור ברור בין מנות של שלמים לפיתוח עשרוני. אני בטוח שמרבית הקוראים לא מבינים את הקישור הזה בצורה טריוויאלית ולכן לא נכון להציג את הדבר באופן הזה. שנית, תכונה זו של האי-רציונליים פשוט אינה חשובה כל כך (כמו כל התכונות שקשורות בפיתוח עשרוני). היא זוכה לפופולריות רבה, איך אין לה כמעט השלכות מעניינות. המהות כאן היא העובדה שאין מדובר במנת שלמים וזה מה שחשוב להדגיש ולא ליצור מצג שווא כאילו מדובר בתכונות דומות בחישובתן. ראוי להתייחס לתכונה הזו בהמשך הערך (עם הסבר למה היא נכונה), אבל לא בפתיח.
• כרגע כתוב בערך "שורש 2 הוא המספר הראשון שהוכח כאי-רציונלי, ואת ההוכחה הראשונה לכך מצא פיתגורס, או אחד מתלמידיו. קיומם של המספרים האי-רציונליים היה מכה קשה לפילוסופיה הפיתגוראית שהחזיקה באמונה ביופיים ושלמותם של המספרים. היוונים גילו מאוחר לזאת שכל שורש ריבועי של מספר טבעי, שאינו מהווה מספר שלם, הוא מספר אי-רציונלי.‏" לקטע הזה הובא סימוכין, אך הוא לא תומך בנאמר בו. הקטע הזה בעייתי בעיני משתי סיבות. ראשית, לא ברור על סמך מה נקבע ששורש 2 הוא האי-רציונלי הראשון שנתגלה. במידה לא פחותה הגיוני שהיה זה שורש 5, מספר שהעסיק את הפיתגוראים לא פחות (אולי אף יותר). שנית, הטענה כאילו גילוי זה קדם לגילוי אי-רציונליים אחרים גם הוא נטול סימוכין ולא הגיוני. ההבנה ששורש 2 אינו רציונלי אינה פשוטה יותר מההבנה ששורש 3 אינו רציונלי (גם בדרך החשיבה הגאומטרית של תקופתם) וסביר שההבנה הזו נוצרה במקביל (כך גם ביסודות). למעשה סביר אף שקרה "הפוך". קודם חשבו ששורשים של מספרים שלמים שאינם ריבועים אינם "קיימים" כלל (כי אינם רציונליים). ורק אחר כך עם גילוי משפט פיתגורס ותוצאות נוספות הובן שיש לשורשים כאלו ממשות גאומטרית. דניאל 19:30, 17 באפריל 2015 (IDT)

או קיי. דעתי בעניין שונה. * אין לי התנגדות להסיר את המילים "מסיבה זו" ולנסח את המשפט אחרת. אך להסרה לכך שבהצגה עשרונית הוא תמיד אינסופי ולא מחזורי, אני מתנגדת בהחלט. תכונה משנית או לא, אנחנו רגילים לכתיב העשרוני, ותכונה זו מיד מעלה בעיני הרוח, ייצוג ויזואלי, של מספר אי רציונאלי. ולכן, לדעתי היא חשובה בעיקר בפתיח. רלוונטיות לפתיח, לדעתי, אינה תמיד עניין של חשיבות. לעיתים קריטריון אחר עדיף. כמו המחשה והמשגה, והנגשה. מה גם שאין זה בא על חשבון משהו אחר.

בעניין שורש 2 והלאה. שוב אתה טועה, אך בעניין זה אין זו דעתי אלא חוקרים והוגים מוסמכים. המחקר של ריבוע היחידה היא לפי המסורת זה שהוביל לגילוי הפיתגוראים את שורש 2. זה לא סתמי. ההתפתחות לפי הנאמר בספר שציינתי היא מגילוי להתכחשות, עד להבנה שלא ניתן להתחמק מהמספרים האי רציונליים, כי מתגלים עוד יחסים לא רציונלים, ולכן יש לקבלם, ומכאן לפיתוח שיטה להתייחסות אליהם וביטויים כיחסי אורכים - פיתוח תורת המספרים האי-רציונאלים על ידי אודוקסוס ומאוחר יותר אוקלידס כפי שציינת... - ומכאן הביטול שלי את ההסרה שלך את המילים 'מאוחר לזאת' שבאו לתאר הדרגתיות. למעשה זה די אופייני להתקדמות מדעית מהפכנית. ולכן הלוגיקה שלך אינה קבילה.

את העריכה האחרונה שלך אני אוהבת. אגב לדעתי יש לבצע עוד שיפורים, כמו להציג את ההיסטוריה בנפרד מהדוגמאות. Dalila - שיחה 20:53, 17 באפריל 2015 (IDT)

הסיפור על הגילוי ששורש 2 אינו רציונלי (והטבעת המגלה בנהר) הוא סיפור מעניין, אבל אינו יותר מאשר סיפור. אני חושש שאין לנו דרך לומר בוודאות ששורש 2 היה הראשון שהתגלה כאי-רציונלי, ולכן הוספתי בתחילת המשפט "נהוג לספר". גם שני המקורות הפופולריים שהבאת אינם מציגים סיפור זה כעובדה מוצקה (וכמובן עדיף מקור מחקרי על פני מקור פופולרי). דוד שי - שיחה 21:36, 17 באפריל 2015 (IDT)

הוא אשר אמרתי, 'לפי המסורת' וטוב שתיקנת. בנוגע לכך שמאוחר לזאת (זה הביטול שלי) גילו היוונים עוד ועוד מספרים אי-רציונליים ולבסוף הציגו שיטות להתייחסות אליהם, חלק זה הוא היסטוריה המתועדת בכתב. הספר של איאן סטיוארט הוא אכן פופולרי, אך הדיון שלו יאומת בקלות. תיעוד הישגי היוונים נשמר (אם כמקור או כהתייחסות מיד שנייה) וסטיוארט דן בחלק מכתבים אלו... Dalila - שיחה 22:33, 17 באפריל 2015 (IDT)

הוספתי בהערה התייחסות לספר העשירי ביסודות של אוקלידס, מקור לעניין התפתחות התחום ללא ספק. שוב, אני חושבת שיש להציג את ההיסטוריה בנפרד מדוגמאות. Dalila - שיחה 22:48, 17 באפריל 2015 (IDT)

די ברור ששורש 2 הוא האי-רציונלי הראשון שהתגלה, גם אם הסיפור על התלמיד שהושלך לנהר הוא אגדה. ראו פרק ט' של ה"מבוא לתולדות המתמטיקה" שציטטתי לעיל. אין בכלל ספק שהגילוי של מספרים אי-רציונליים מסויימים קדם לתאור הכללי של כל השורשים הלא-שלמים ככאלה. עוזי ו. - שיחה 21:49, 18 באפריל 2015 (IDT)

אונגרו משתמש בצירוף המופלא "אין ספק לדעתי" שפירושו (ללא צל של ספק, לדעתי): "יש ספק גדול, אבל אני משוכנע בכל זאת שזה כך". סביר מאוד ששורש 2 היה האי-רציונלי הראשון שהתגלה (ובלשונו של אונגרו: "הדעת נותנת"). האם אפשר להחליף את "אין ספק לדעתי" ב""אין ספק", או בכלל לא לציין "אין ספק", מפני שהעובדה ברורה במידה שאינה מצריכה לציין שאין ספק? אינני בטוח. דוד שי - שיחה 22:04, 18 באפריל 2015 (IDT)

יש כאן שתי שאלות: (1) האם התובנה שקיימים מספרים אי-רציונליים (יותר נכון, קטעים שאינם בעלי מידה משותפת) נבעה מגילוי מספרים אי-רציונליים בודדים או מההבנה שהשורש של כל מספר שלם שאינו ריבועי הוא אי-רציונלי; (2) בהנחה שהגילוי הראשון היה של מספרים אי-רציונליים בודדים, מהו הראשון שהתגלה. אין ספק שהתשובה לשאלה הראשונה היא שההבנה הגיע ממספרים בודדים. לגבי השאלה השניה, לדעתי (גם על-פי אונגרו) ברור שזה היה שורש 2, אבל את זה קשה יותר להוכיח. עוזי ו. - שיחה 14:11, 19 באפריל 2015 (IDT)

המשפט האחרון (115) בספר העשירי של יסודות כאן למשל מתאר סדרה אינסופית של מספרים שהמנות שלהם לא רציונליות: $k^{1/4},k^{1/8},k^{1/16},\cdots$, כאשר k מספר רציונלי (בתנאי ששורש-k אינו רציונלי). מתוחכם מאד, אבל העובדה שזה כיוון ההתפתחות של הנושא, מרמזת שהם לא חשבו על מספרים שלמים. למות I,II שלפני טענה 29 בספר העשירי מצביעות על הזוגיות ככלי היחיד להוכיח שמספר אינו ריבוע, ומחזקות את ההנחה שהטענה הכללית לא היתה ידועה לאוקלידס. עוזי ו. - שיחה 22:43, 18 באפריל 2015 (IDT)

עוזי ו., לא הבנתי את טענתך לגבי המספרים השלמים. כל העניין של הגדרת מספר רציונלי ואי רציונלי מבוסס על יחס (בין מספרים), כשאין ייצוג של שלמים אז זהו יחס אי רציונל. (וזה קודם לאוקלידס שהיוונים התייחסו לאי רציונאליים באמצעות קירוב, כשהבינו שאין שם יחס בין שלמים, אאודוקסוס השתמש ביחסי שוויון...) וגם ההוכחות ביסודות של אוקלידס, בדיונים בצורות וקטעים, המשתמשות ביחסים רציונלים ואי רציונלים הן כלליות, כך שניתן להציב בהן כל מספר. וספציפית לגבי שורשים, שורש 2, צלע ריבוע, שורש 3, צלע קוביה, שורש 5 יחס הזהב... זה כלול במחקר שלהם. כך שנראה לדווקא ניתן לטעון את ההיפך, שנקודת המוצא היתה ששורש של מספר טבעי שהוא שבר הוא אי רציונלי. Dalila - שיחה 13:54, 19 באפריל 2015 (IDT)

את אי-הרציונליות של שורש 2 או השורש השלישי של 2 הם ידעו להוכיח (באמצעות הזוגיות של המונה והמכנה). היכן את רואה רמז לכך שידעו להוכיח גם שהשורש של 109 הוא אי-רציונלי? עוזי ו. - שיחה 14:11, 19 באפריל 2015 (IDT)

היחס הוא לכלל, לא לכל מספר ומספר. שיטת הקירוב נתנה להם דרך לטפל בכל מספר. כך הם נהגו בראשונה. מצאו למה הוא הכי קרוב, ואז שוב ביצעו את המהלך של הקירוב וכן הלאה, ובצורה זו כתבו לכל שורש אי רציונלי קירוב. אם זו היתה דרכם להתייחס למספרים אי רציונליים בראשונה, נראה שדי ברור שידעו להבחין איזה שורש הוא אי רציונלי. בגדול. אי אפשר לדבר גם היום על מכלולים שלא ידועים. בכל אופן, אנחנו הולכים סחור. אפשר לשים שם דרישת מקור. או להחליף בטענה מוצקה, שבהמשך, אחר הגילוי של עוד ועוד מספרים אי רציונלים, הם פיתחו מספר שיטות לטיפול בהם וביטויים (כגון, קירוב ויחסי שוויון)... Dalila - שיחה 15:13, 19 באפריל 2015 (IDT)

בערך המקביל באנגלית כתוב ש- It was known to the ancient Greeks that square roots of positive whole numbers that are not perfect squares are always irrational numbers: numbers not expressible as a ratio of two integers (that is to say they cannot be written exactly as m/n, where m and n are integers). This is the theorem Euclid X, 9 almost certainly due toTheaetetus dating back to circa 380 BC.[6]. אולי מישהו יוכל להסביר מדוע משפט X.9 ביסודות, הכולל את הטענה "squares not having to one another the ratio which (some) square number (has) to (some) square number will not have sides (which are) commensurable in length either", אכן מוכיח ששורש 109 (למשל) אינו שלם. עוזי ו. - שיחה 18:38, 19 באפריל 2015 (IDT)

אני חושבת שזה עובד כך: הטענה היא כל שורש של מספר טבעי שאינו מהווה מספר שלם הוא אי רציונלי. הקטע של אוקלידס הוא כללי אך אפשר ליישם אותו לעניינינו. תרגום של הטענה של אוקלידס בקטע שציינת לעניין השורשים היא: אם אפשר לבטא שורש כיחס רציונלי (כיחס שני מספרים שלמים) אז גם כל מכפלה של הביטוי יחס הזה במספר שלם או בשבר פשוט (כלומר חלוקה שלו), וגם הריבוע שלו, יהיו רציונליים. בהתייחס לשורש 109, נאמר: אם אין ביטוי יחס רציונלי שכזה לשורש 109 אז הוא לא רציונלי. אם היה, היית מוצא שגם את הריבוע, 109, אפשר לבטא כיחס בין שני ריבועי מספרים שלמים. אם אין ריבועים כאלה או מכפלות כאלו הוא לא רציונלי. זה מוכיח כי כל שורש של מספר טבעי שהוא שבר הוא לא רציונלי, כי זה הטבע של מספרים שלמים, השורש שלהם הוא שלם או לא רציונלי. למשל, שורש 109 נמצא בין 10 ל- 11. הריבוע, 109, הוא שלם, לא מכיל שבר - כלומר לא מדובר במקרה בו יתכן היה שהוא מכפלת שבר בעצמו, כי זה ייתן שבר, לכן הוא בהכרח לא רציונלי. נידמה לי... Dalila - שיחה 20:46, 21 באפריל 2015 (IDT)

בקשת הוכחות

1. מה ההוכחה שפאי הוא לא רציונלי?
2. האם כל הסינוסים של זוית רציונלית חוץ מsin 30 הם לא רציונליים?
3. הים סכומי שורשים שהם עצמם לא רציונליים, גם הם תמיד לא רציונליים?
4. האם הסיכוי שמספר אקראי הוא רציונלי הוא 1/2?איציק - שיחה 19:03, 6 במרץ 2017 (IST)

1. ראה הוכחות בערך Proof that π is irrational בוויקיפדיה האנגלית

2. גם סינוס 0 וסינוס 90 הם רציונליים. אינני יודע מה עם יתר הזוויות בתחום (0,90).

4. הסיכוי שמספר ממשי אקראי הוא רציונלי הוא 0, משום שעוצמת הרציונלים היא $\!\,\aleph _{0}$ ואילו עוצמת הממשיים היא $\!\,\aleph$. דוד שי - שיחה 20:25, 6 במרץ 2017 (IST)

2. הכפולות הרציונליות היחידות של פאי שהסינוס שלהן רציונלי הן הזוויות 0,30,90,150,180,210,270,330; הסינוס מקבל את הערכים $0,\pm 1/2,\pm 1$ בלבד.

3. באופן כללי לא; למשל, $\ {\frac {19}{\sqrt[{3}]{-405+84{\sqrt {-3}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{-405+84{\sqrt {-3}}}}{3}}=3$. עם זאת, השורשים הריבועיים ${\sqrt {m}}$, כאשר m מספר חופשי מריבועים, הם קבוצה בלתי תלויה מעל הרציונליים; לכן צירוף לינארי שלהם, אם אינו אפס, הוא אי-רציונלי. עוזי ו. - שיחה 22:29, 6 במרץ 2017 (IST)

תודה לעוזי ו. ולדוד שי על התשובות .בענין ההוכחות באנגלית לא הבנתי האם אפשר לתרגם לעברית.

המשפט שהרציונלים בעוצמה א והאי רציונליים א0 אני לא מכיר את הסימונים האלה, הסיבה שהנחתי שהסיכוי הוא 1/2 היא בגלל שבכל תחום מספרים (קטן ככל שיהיה) יש אין סוף גם של רציונליים וגם של אי רציונליים. איפוא הטעות שלי. ואיך מחשבים?איציק - שיחה 16:32, 7 במרץ 2017 (IST)

יש הבדל בין מספר ומידה. למשל, בקטע שבין 0 ל-1 יש אינסוף מספרים, כמו בקטע מ-1 ל-100. אבל אם בוחרים באקראי מספר ממשי בין 0 ל-100, הסיכוי שהוא יפול דווקא בקטע הראשון הוא רק 1%. כדי לחשב הסתברויות צריך לדעת את המידה של המאורעות. קבוצת המספרים הרציונליים היא בת מניה, ולכן המידה שלה אפס. עוזי ו. - שיחה 17:33, 7 במרץ 2017 (IST)

איציק, יש להכיר במגבלות של ויקיפדיה - לא כל דבר אפשר ללמוד רק ממנה. בהתחשב בעניין שלך במתמטיקה, אני מציע שתיקח קורס פתיחה במתמטיקה באוניברסיטה הפתוחה, ואם יימצא חן בעיניך תוכל להמשיך בקורסים נוספים, שאחד מהם, תורת המידה, הוא הבסיס לתשובה של עוזי. דוד שי - שיחה 20:44, 7 במרץ 2017 (IST)

עוזי ו. אם איני טועה השתמשת בהדגמה של השורשים (בתשובה לשאלה 3 שלי) במספרים מרוכבים האם זה אומר שבמספרים ממשיים אין אפשרות, או שלא מצאת דוגמה בקלות? כמו כן בשרשים ריבועיים יש הוכחה שסכומם רציונלי רק אם כולם רציונליים אבל אני לא יודע הוכחה לזה בסכומים של שורשים לא ריבועיים.איציק - שיחה 18:52, 16 במרץ 2017 (IST)

במובן מסויים יותר קל לבשל דוגמאות עם מספרים מרוכבים, אבל זה לא הכרחי. למשל, $\ {\frac {\sqrt[{3}]{567+174{\sqrt {15}}}}{3}}-{\frac {17}{\sqrt[{3}]{567+174{\sqrt {15}}}}}=2$. לגבי סכומי שורשים, הטענה צריכה להיות נכונה לשורשים כלשהם, אבל צריך להזהר בניסוח הטענה מהתנגשות בין השורשים ה"רצויים" (כמו $\ {\sqrt {7}}$) לבין שורשי יחידה (כמו $\ \rho =\cos({\frac {2\pi }{7}})+i\sin({\frac {2\pi }{7}})$; שאפשר להציג בעזרתו את השורש הריבועי של 7). עוזי ו. - שיחה 20:54, 16 במרץ 2017 (IST)

איך מוכחים שסכום שני מספרים אי רציונאלי יכול להיות גם רציונאלי וגם אי?

מצא דוגמאות משני הסוגים. עוזי ו. - שיחה 22:18, 12 ביולי 2017 (IDT)