שיחה:מספר מרוכב

העברתי את רוב הערך לשדה המספרים המרוכבים, אותו אני עורך מחדש. כמו במקרים דומים, 'מספר מרוכב' הוא איבר של שדה המרוכבים, ותו לא. ממילא רוב הערך מתייחס לתכונות של הרבה מספרים מרוכבים ביחד, ולכן הוא מתאר את השדה ולא את המספרים. מצד שני אי אפשר להסתפק כאן בקישור: הערך על השדה הוא קצת יותר טכני, ואת המידע הבסיסי עדיף לתת כאן. עוזי ו. 20:59, 14 דצמ' 2004 (UTC)

האם זה באמת הכרחי שיהיו שני מאמרים נפרדים על מספר מרוכב ושדה המספרים המרוכבים? הערך הנוכחי כמעט שלא מכיל מידע וזה קצת חסר טעם לדבר על מספר מרוכב בלי ההקשר שהוא איבר בשדה המרוכבים. MathKnight 21:01, 13 מרץ 2005 (UTC)

אני בעד שימור ההפרדה, בדומה להפרדה בין מספר ממשי לשדה המספרים הממשיים. דוד שי 21:16, 13 מרץ 2005 (UTC)

שם ההפרדה עוד יותר מגוכחת. הנה תוכן המאמר מספר ממשי במלואו:

במתמטיקה, מספר ממשי הוא מספר הנכלל בשדה המספרים הממשיים. אינטואיטיבית, אלו הם האורכים האפשריים של קטע על ישר אינסופי. המושג "מספר ממשי", במקום "מספר" סתם, בא להבדילו ממספר מרוכב.

מספר ממשי יכול להיות רציונלי או אי-רציונלי; אלגברי או טרנסצנדנטי; חיובי, שלילי או אפס.

בקיצור, לא מוסר שום מידע ואפילו לא מנחה את הקורא לחפש את רוב הפרטים במאמר שדה המספרים הממשיים. בהחלט יש מקום למזג גם את שני אלה מאחר ומספר ממשי מוגדר כאובייקט של שדה הממשיים וקצה קשה לדבר עליו מחוץ להקשר זה. MathKnight 21:27, 13 מרץ 2005 (UTC)

תלמידי תיכון שיגיעו לערך שדה המספרים המרוכבים יברחו בצעקות מהויקיפדיה. טרול רפאים 21:21, 13 מרץ 2005 (UTC)

יש לנו כאן בעייה של אובר-מקצוענות. אני מציע שבערך הזה יהיה התיאור הפחות פורמלי, שמיועד לאנשים "מהרחוב" (שהרי יותר הגיוני שהם ישמעו על "מספר מרוכב" מאשר על "שדה המספרים המרוכבים"), אבל לא צריך להתבייש לכתוב אותו גם אם נואשם ש"האובייקט החשוב הוא השדה, לא המספרים". גדי אלכסנדרוביץ' 05:22, 14 מרץ 2005 (UTC)

סדר מרוכב חדש

אני לא מסכים עם שני שינויים עיקריים בסדר: לדעתי בפסקה הפותחת (שעדיף שתהפוך לשתי פסקות פותחות) אסור להתעלם לא מכך שלא באמת "ממציאים" שום דבר (מה גם שבהמשך זה לא מובהק לגמרי כי לא מובאת ההנגדה שבין "ההמצאה" ובין הבנייה הפורמלית), ובהחלט לא צריך להגלות לסוף הערך את הסיבה שבגללה התכנסנו כאן: השימושים הרבים שיש למספרים מרוכבים גם שלא בתחום המספרים המרוכבים עצמו, ומש"מכשירים" אותם גם בעיני הלא מתמטיקאים. לא צריך לדעת כמה משפט השארית יפה כדי לדעת שמספרים מרוכבים הם לא המצאה של איזה מתמטיקאי מטורף ומשועמם שממציא דברים שאינם קיימים, אלא הרחבה הגיונית ומתבקשת של דבר קיים כך שמעבר להיותו טבעי, גם יעזור לנו בהתמודדות עם בעיות שלא היו לנו כלים להתמודד איתן עד כה. גדי אלכסנדרוביץ' 05:55, 14 מרץ 2005 (UTC)

כדי להבהיר מה מטריד אותי, תעיפו מבט במאמר התמוה הז: [1] שמתיימר לעסוק ביופייה של המתמטיקה. הנה ציטוט: "i הוא בכלל יצור מוזר בתכלית, פרי דמיון מתמטי פרוע, ועל כן קרוי "מספר דמיוני", מושג שכבר הוצע על ידי דקארט במאה השבע עשרה. ומהו מספר זה? לימדו אותנו בעמל ויגע שכאשר מעלים מספר בריבוע התוצאה תמיד חיובית, אבל אמר מי שאמר: למה? הבה נגדיר את השורש של 1- ונקרא לו i. לא מבינים? לא צריך. ככה זה." ואת הדברים הללו כותב מישהו שכתוב עליו "הכותב הוא מהנדס". הבורות בנושא מטרידה, ואסור שניתן לה להמשיך להתקיים בכך שנטאטא את האמת מתחת לשטיח במטרה לפשט יותר את הערך, או שנחביא אותה מתחת לתלי תלים של פורמליסטיקה בערך "מקצועני" מדי. גדי אלכסנדרוביץ' 05:58, 14 מרץ 2005 (UTC)

אני חושש שמבחינה היסטורית אכן מדובר ב"המצאה", שרק מאוחר יותר נוסחה במונחים של שדה. כדאי לברר פרט זה ולנסח את הערך בהתאם.

בעניין השימושים אני חולק עליך כליל: המתמטיקה חיה בבועה משל עצמה, והשימושים שעושים בה הפיזיקאים, שלא לדבר על מהנדסי חשמל, מעניינים אותה כקליפת השום (אולי הגזמתי, אבל רק קצת). אין צורך לשווק את המתמטיקה בהבטחה שיש בה גם תועלת מעשית. לכן לשימושים נחוצה פסקה (רחבה יותר), אבל בסוף הערך. אם אתה מוכרח לכתוב כבר בהתחלה את סוף הסיפור, היזהר מכתיבת ספרי מתח.

הדוגמה שהבאת מ"הארץ" מטרידה מאוד בהקשר הכללי של מקומה של המתמטיקה בעיתון לאנשים חושבים. במדור הספרות של יום שישי מובאים שם ניתוחים ספרותיים תוך שימוש באוצר מילים שרק בעל תואר בספרות יכול להבינו. כאשר העיתון מגיע למתמטיקה הוא נזהר שלא לעבור את הידע של תלמיד כיתה ד'.דוד שי 06:40, 14 מרץ 2005 (UTC)

עד כמה שידוע לי, בתחילה לא העזו בכלל להשתמש במספרים מרוכבים אלא רק "רימו" ואמרו "נניח שיש למינוס אחד שורש, אז..." והשיגו תוצאות שלא דורשות מספרים מרוכבים בשביל הניסוח שלהן. רק בתקופת גאוס התחילו לראות איך אפשר לעשות את זה שלא כ"רמאות" (גם לפניו היו בודדים, אני חושב, אבל הקהילה לא ממש אימצה אותם).

עכשיו, "רמאות" ו"המצאה" היו בכל תחומי המתמטיקה. האינפיניטסימל הוא "המצאה" שכזו. המספרים הממשיים הוגדרו בצורה פורמלית רק בסוף המאה ה-19. אקסיומות למערכת המספרים הטבעיים נוסחו רק במאה ה-20. נו, אז? צריך להתעלם מכך בערכים הרלוונטים, או לכתוב ש"נגזרת היא המצאה שנובעת מחילוק באפס" ולהוסיף רק בהמשך איך עושים את זה עם הגבול של קושי? הערך צריך להיות מנוסח בהתאם למצב כפי שהוא כיום, אחרי שבזכות עבודה קשה של הרבה אנשים טובים יש למספרים המרוכבים ביסוס פשוט והגיוני. הסבר אינטואיטיבי הוא טוב ונדרש, אבל אסור שהוא יובא מבלי שבאותה נשימה יצויין שהמספרים המרוכבים מוגדרים בצורה יותר טובה מזו. על ההיסטוריה של המספרים המרוכבים אפשר (וכדאי) לכתוב חלק נפרד בפני עצמו.

בעניין השימושים: ראשית, אני לא מסכים עם הבועה הנפרדת וכו'. הרבה פיתוחים מתמטיים (וביניהם החשבון האינפיניטסימלי) הומצאו כדי לטפל בבעיות מציאותיות. לא חייבים להחביא את השימושים של המספרים המרוכבים מתחת לשטיח, בעיקר כאשר חשוב לדעת כבר בתחילת הערך "בשביל מה זה טוב?" (שאלה בסיסית בכל תחום, אם כי "זה יפה" היא תשובה לגיטימית) אבל אתה מתעלם מהעיקר - אלו לא רק שימושים במדעי הטבע, אלא גם במתמטיקה טהורה עצמה. קטונתי מלתת דוגמאות רציניות, אבל כבר נתקלתי במשוואות דיפרנציאליות רגילות במשוואות שכללו רק מספרים ממשיים שכדי לפתור אותן משתמשים בנוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת) ומקבלים פתרון שכולו מספרים ממשיים, ומשפט השאריות מאפשר חישוב של אינטגרלים ממשיים שלא תמיד אפשר לחשב בדרך אחרת (שאני מכיר). אחד הדברים היפים ביותר בתחום מתמטי כלשהו הוא שהוא מסוגל לענות על שאלות שלכאורה לקוחות מתחום אחר. דוגמא קלאסית לכך היא התשובה שתורת השדות נותנת לבעיות הגיאומטריות של ימי קדם. זה ממש חבל להתעלם מזה או לדחוק את זה לסוף הערך, כשזה אחד מההישגים שהמספרים המרוכבים יכול לציין לעצמם בגאווה. גדי אלכסנדרוביץ' 06:57, 14 מרץ 2005 (UTC)

אני לא כל כך אוהב את הפיסקה הראשונה

שדה המספרים הראשוניים הוא הרחבה של שדה הממשיים שבו מתקימות תכונות סגירות רצויות. בשביל לבנות אותו מגדירים אלמנטים חדשים ופעולות ארימטיות אליהם. לאחר סיום הבניה אפשר לראות שניתן לשכן את שדה הממשיים בשדה החדש ואז לזהות אלמנט מסויים עם השורש של 1-. בצורה שבה זה מוצג כעת זה ניראה מיסטי. אורי מוסנזון 09:36, 25 מאי 2005 (UTC)

רק עכשיו ראיתי את הדיון שמעלי. דיון מאד מעניין. הדעה שלי(כמו אשת הרב): אתה צודק וגם אתה צודק. חבל שהדיון לא המשיך ולא רואים את השלכותיו על הערך. אורי מוסנזון 11:14, 25 מאי 2005 (UTC)

גם לי זה עדיין צורם, אבל בינתיים התבססוו בויקיפדיה מתמטיקאים מקצוענים ואני מפחד לשנות משהו בערכים שהם התקרבו אליהם. למה שאתה לא תתקן? גדי אלכסנדרוביץ' 05:24, 26 מאי 2005 (UTC)

זה נשמע מיסטי מאוד, המצאת המספר i וכו'. אולי נתחיל מבנייה כחוג מנה של חוג הפולינומים מעל הממשיים? Harel 06:38, 26 מאי 2005 (UTC)

1. זו לא גישה מוצלחת, במיוחד כשמדובר בנסיון להפוך את הערך לקריא יותר ולא בתיקון של טענות מתמטיות. קרא את הפסקה האחרונה בדף השיחה שלי.

2. אני חושב שאת פסקת המבוא הנוכחית יכול לקרוא כל בוגר תיכון (ומן הסתם כמעט כל תיכוניסט), ומצד שני היא לא מוסרת שום מידע מטעה או מעורפל במידה מוגזמת. לא כתוב "המצאת מספר שאינו ממשי", אלא "'המצאת' מספר שאינו ממשי", ואני חושב שהקוראים מבינים מזה שיש דרכים אחרות (אלא שמשום מה כותב הערך מעדיף לא לציין אותן בפסקה השניה של ערך על מספרים - מי יודע, אולי אפשר למצוא פרטים נוספים בערך על שדה המספרים המרוכבים). זה גם כתוב במפורש בפסקה השניה של "הגדרה פורמלית".

3. אם עדיין יש מקום לשיפור לדעתכם, אתם מוזמנים לשנות. יהיה נחמד אם השינויים (בעיקר במקומות אחרים) יהיו מלווים בהסבר בדף השיחה. עוזי ו. 07:01, 26 מאי 2005 (UTC)

תורת המספרים?

תקנו אותי אם אני טועה, אבל אני תמיד חשבתי שתורת המספרים עוסקת בתכונות המספרים הטבעיים. יובל מדר

ניראה לי שגם בשביל גאוס זה חידוש. אורי מוסנזון 11:02, 25 מאי 2005 (UTC)

יובל - אכן, אבל מעבר מהיר על קורסים מתקדמים במרוכבות מראים כי משפטים רבים לאינספור בתורה זו עוברים דרך המספרים המרוכבים. אם תרצה פירוט או הפנייה לספר, אני יכול למצוא לך. אמיתי 12:06, 25 מאי 2005 (UTC)

מדובר בתורת המספרים האנליטית, ולא סתם תורת המספרים. לדעתי הקיטגור הזה מטעה. עוזי ו. 13:17, 25 מאי 2005 (UTC)

ישנם גם משפטים שניתן להוכיח בגישות אלגבריות ובלי טיפת אנליזה, תוך שימוש במרוכבים (כמו זה של פרמה על כך שראשוני יכול להיכתב כסכום של שני ריבועים אם ורק אם הוא שקול ל-1 מודולו 4).

מדובר בתורת המספרים האלגברית, ולא סתם תורת המספרים. לדעתי הקיטגור הזה מטעה. לירן (שיחה,תרומות, בקשה ממפעילים שרואים חתימה זו) 15:03, 8 ביולי 2007 (IDT)

אם כן, אפשר להכניס קיטגורים הן של "תורת המספרים האלגברית" והן של "תורת המספרים האנליטית" (וגם את "גאומטריה אלגברית אריתמטית", אם כבר נטפלים לנושאים שמופיעים בערך של תורת המספרים). לחילופין, אפשר להכיר בכך שמספרים מרוכבים הם חלק בלתי נפרד מתורת המספרים בכללותה, גם אם הם לא מופיעים בכל פינה אפשרית בה.

האם אפס כפול מספר מרוכב מחזיר אפס?

כן. בברכה, MathKnight הגותי |Δ| (שיחה) 20:10, 9 במאי 2007 (IDT)

$Re(z)={\frac {z+{\frac {\left|z\right|^{2}}{z}}}{2}}$
$Im(z)=i{\frac {{\frac {\left|z\right|^{2}}{z}}-z}{2}}$

הצגה קוטבית

האם באמת ל e יש משמעות? הבנתי שזה רק סימון שאויילר קבע ותו לא... ד"ש בבית!!! למון ליים • שיחה 01:51, 27 ביולי 2008 (IDT)

NOTE

"מכיוון שהריבוע של כל מספר ממשי הוא חיובי, למינוס אחת (שהוא מספר שלילי) אין שורש בשדה המספרים הממשיים." קשה להבין את המשפט הזה.. התחלת בריבוע ועברת לשורש.. ונוצר בלבול כאשר צוין המספר 1‏‏- שהוא מציין מספר מסוים ולא השקפה כוללת על כול המספרים השליליים. לקורא החדש, זה נראה מסובך ביותר ולא ברור, אנא,תאר זאת כך אם ניתן-
ריבוע של כל מספר ממשי הוא חיובי.מפאת זאת,למינוס אחת לדוגמא (שהוא מספר שלילי) לא יתכן שורש בשדה המספרים הממשיים השורש יתרבע חזרה למספר שלילי ויסתור את האמיתה,שריבוע מספר ממשי הוא תמיד חיובי.
‏‏(1) כל שורש מספר שלילי יכול הרי להקרא "מספר מרוכב" לכן הערך 1- נלקח רק כקבוע.
אנא הוסף הערה זו לערך אם אפשר. תודה.
אפנדיקס - אל תמחקו יותר למשתמשים הערות כמו אלה, המיזם איננו רכוש בלעדי,לא משנה כמה ערכים אדם כתב או עדכן. ובנוסף לכך, הגיע הזמן שיכתבו פה ערכים מקוריים ולא העתקים מהגרסא האנגלית.
יום טוב
ותודה.

למושג "שורש" יש הפניה בשורה הראשונה של הערך: זהו ההפכי של פעולת ההעלאה בריבוע, והמשפט שציטטת אומר שלמינוס אחת לא יכול להיות שורש ממשי. עוזי ו. - שיחה 23:13, 15 בינואר 2009 (IST)

טריגונומטריה

איך לחשב ארכסינוס וארכקוסינוס של מספר מחוץ לתחום הממשי $\ -1<x<1$ ?

i הוא השורש הריבועי של מינוס 1?

פעולת השורש הריבועי אינה חד ערכית על פני המספרים המדומים. להגיד שi הוא "ה"שורש הריבועי של מינוס 1, משמיע שאין למינוס אחד שורש נוסף (והרי -i בריבוע הוא גם מינוס 1; ולא ברור האם i או -i מקיימים את הקשר של "מספר חיובי" לעומת "מספר שלילי").

יחידות ההצגה

בערך כתוב "כל מספר מרוכב z ניתן להציג (באופן יחיד) כסכום z=a+bi". אין צורך להוכיח את היחידות הזו, משום שהעובדה ש-1,i הם בסיס לשדה המרוכבים (כמרחב וקטורי מעל הממשיים) היא חלק מההגדרה. עוזי ו. - שיחה 00:41, 3 בינואר 2019 (IST)

אני מבין מה אתה אומר, אך זה לא טריואלי ודיי מסובך, הוכחתי פשוטה וקצרה ומופיעה גם בערך שבאנגלית.--דיוויד.ס - שיחה 10:32, 3 בינואר 2019 (IST)

מהו מספר מרוכב? עוזי ו. - שיחה 13:23, 3 בינואר 2019 (IST)

מה? דיוויד.ס - שיחה 15:57, 3 בינואר 2019 (IST)

אתה מבקש לצרף הוכחה לערך על מבנה בסיסי במתמטיקה. פרטי ההוכחה יהיו תלויים בנקודת המבט הקובעת את ההגדרה. מהו לדעתך מספר מרוכב? עוזי ו. - שיחה 22:17, 3 בינואר 2019 (IST)

לפי דעתי מספר מרוכב הוא מספר אשר מוגדר במערכת צירים בה ערכי הx ממשיים וערכי הy לא אמיתיים (imaginary) ואז כל נקודה מורכבת מחיבור של ערך x וערך y כלשהו ומכאן באה היחודיות. אני מבין שמה שהוספתי , לפי ההגדרה הוא טריוואלי. אך יש כאלה שזה לא טריוואלי להם ולא תמיד חושבים על המספרים המרוכבים כך. כמו כן היחודיות של המשוואה a+bi=c+di מאד חשובה ועוזרת רבות בפתירת תרגילים ובעיות מכל הסוגים ,אבקש להוסיף את זה חזרה ואם ברצונך תוכל לעזור לי לנסח את זה בצורה טובה יותר.77.139.189.40 15:40, 4 בינואר 2019 (IST)

אם מספר מרוכב הוא נקודה במישור, אז יש לו מרחק מציר ה-x ומרחק מציר ה-y, ואלו הם הרכיבים (הפיזיים כמעט) של הנקודה. אין צורך להוכיח את היחידות על ידי מניפולציות אלגבריות. עוזי ו. - שיחה 18:31, 5 בינואר 2019 (IST)

דיווח על טעות

פרטי הדיווח

ב"הגדרה פורמלית של מספרים מרוכבים" כתוב ש bi הוא החלק המדומה של z, למיטב הבנתי, b הוא החלק המדומה של z. זה נראה ככה גם בסימון של im(z). ככה גם כתוב בערך באנגלית(ויש שם גם מקורות)

מקור: https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number#Definition

דווח על ידי: אמונה 79.181.21.11 18:57, 4 ביולי 2021 (IDT)

bi הוא החלק המדומה של a+bi, ו-b הוא המקדם המדומה. עוזי ו. - שיחה 21:59, 4 ביולי 2021 (IDT)

עוזי ו., האמנם כדאי לנו לכנות את b "המקדם המדומה" ולא "המקדם של המדומה"? הרי b ממשי, וכל חטאו שהוא מקדם את היחידה המדומה. אני יודע שנהוג להשתמש ב"המקדם הממשי" ו"המקדם המדומה", השאלה האם כדאי לנו לאמץ את הטרמינולוגיה הזו במחיר של בלבול אפשרי, או שמא עדיף לסטות ממנה קמעה. עלי - שיחה 22:10, 4 ביולי 2021 (IDT)

"המקדם של המדומה" לא מתקבל על הדעת. מכיוון ש"המקדם המדומה" הוא מקדם (מעל הממשיים), הוא מוכרח להיות ממשי ואין מקום לפרש שמדובר במספר מרוכב. אפשר להאריך ל"המקדם של הרכיב המדומה" או "המקדם של החלק המדומה" (לדעתי זה בדרך כלל מיותר). עוזי ו. - שיחה 23:54, 4 ביולי 2021 (IDT)

אני לא חולק עליך שמקדם מוכרח להיות ממשי אחרת אין משמעות להיותו מקדם, אבל כאשר הטרמינולוגיה המקובלת יוצרת חיכוך עם כללי התחביר, אני סבור שעדיף לאנציקלופדיה שמיועדת לציבור הרחב להתחשב בכך. עלי - שיחה 00:37, 5 ביולי 2021 (IDT)