שיחה:מערכת פאנו

יש לפשט

כל הפסקה על ההגדרה הפורמלית כתובה ללא שם התחשבות במי שלא מבין שפה מתמטית ורוצה לדעת מה כתוב שם פחות או יותר. • רוליג • שיחה • אמצו חתול 15:47, 31 באוגוסט 2010 (IDT)

הוספתי הסבר. איך עכשיו? דניאל ב. 16:06, 31 באוגוסט 2010 (IDT)

בהגדרה של האקסיומות חסר תנאי

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

התנאי: אם $\ x\in \omega$, אז גם $\ S(x)\in \omega$.

התנאי לא חסר. ראה את הגדרת פונקציית העוקב בערך, כתוב שהיא מאומגה לעצמה. דניאל ב. 10:50, 30 בדצמבר 2010 (IST)

הקבוצה {0} עם ההגדרה $s(0)=0$ מקיימת את כל הדרישות אך עדיין אינה קבוצת המספרים הטבעיים

לא נכון, שים לב לתנאי הראשון. דניאל ב. 11:02, 30 בדצמבר 2010 (IST)

אתה צודק, אך אולי עדיף לדרוש את השייכות של העוקב לקבוצה בתור אקסיומה בפני עצמה ולא בתור תנאי בהגדרת הפונקציה, מגיע לו, לא? בערכים בשפות אחרות כך ראיתי שעשו (רוסית ואנגלית) וכך גם מקיר אני מהספרים. Yashka - שיחה 11:17, 30 בדצמבר 2010 (IST)

אתה צודק שזה נפוץ במקורות. אפשר לשקול הוספה של זה, אבל כדאי למצוא קודם מקור מקצועי שעוסק בנושא ולראות מה עושים שם. דניאל ב. 11:18, 30 בדצמבר 2010 (IST)

באקסיומטיקה מקפידים ביותר על חסכנות: אין להוסיף הנחות שאינן הכרחיות. אם רוצים לבטא במודגש את העובדה שהעוקב שייך לקבוצה, אפשר לוותר על הניסוח שלפיו יש פעולת עוקב, ולומר שלכל x יש עוקב Sx. עוזי ו. - שיחה 22:22, 30 בדצמבר 2010 (IST)

יש אפשרות להכליל את הפעולה "עוקב" לפעולה הבינארית $^{\mathbb {i} }$ כך ש
$a^{\mathbb {i} }m=a+1\iff a>m$
$a^{\mathbb {i} }m=a+2\iff a=m$
מה שמתבסס על העיקרון שאם $f(x)=x^{\mathbb {i} }a$
אז$\ f^{n-1}(a)=a+n$ .
כלומר, $^{\mathbb {i} }$ הוא פעולה קודמת לחיבור כפי שחיבור קודם לכפל. ליור 192.116.90.201 12:39, 23 באפריל 2011 (IDT)

יש לנסח את התיבה כך

בשיחה זו נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

אי דיוק

המספרים הטבעיים אינם מכילים את 0 ומערכת פאנו אינם כוללת את 0 והמושג יסוד הוא 1.  הודעה זו נכתבה באמצעות מערכת המשוב. 
46.116.68.56 20:46, 31 ביולי 2011 (IDT)

אפשר כך ואפשר כך. מקובל להגדיר בעזרת מערכת פאנו גם את אפס. דניאל ב. • תרמו ערך 20:58, 31 ביולי 2011 (IDT)

הבנייה מיוחסת לאנשים הלא נכונים

הבנייה הסטנדרטית בסוף הערך היא של פון נוימן ולא של פרגה וראסל, הבנייה שלהם הייתה שונה ודיברה על "קבוצת כל הקבוצות בעלות n איברים" כייצוג של המספר n. לדוגמא המספר 0 יוצג לפיהם ע״י הקבוצה $\{\emptyset \}$ (קבוצת כל הקבוצות בנות 0 איברים) שבבניית פון נוימן מסמלת דווקא את המספר 1. ShoobyD - שיחה 00:47, 18 בנובמבר 2011 (IST)

מה שמכונה בערך "הגישה השלישית" למושג המספר תואם את הכיוון של פרגה וראסל, למרות שהפרטים לקוחים (כפי שאתה מציין) דווקא מפון נוימן. אתה מוזמן לתקן, ורצוי בליווי סימוכין. עוזי ו. - שיחה 01:03, 18 בנובמבר 2011 (IST)

מספר אקסיומות מעוצמת הרצף

עד כמה שהבנתי, אוסף הנוסחאות מעל קבוצה מסוימת, שקול לאוסף תתי-הקבוצות שלה, במקרה הזה של $\prod _{0}^{n}\omega$ ו-$|2^{\prod _{0}^{n}\omega }|=2^{|\prod _{0}^{n}\omega |}=2^{|\omega |^{n+1}}=2^{\aleph _{0}^{n+1}}=2^{\aleph _{0}}=\aleph$

נוסחאות הן מחרוזות סופיות שנכתבות באמצעות אלפבית שכולל מספר מנייה של אותיות, ולכן יש רק מספר בן מנייה מהן. המסקנה כמובן היא שיש תתי-קבוצות שלא ניתנות לתאור באמצעות שפה מסדר ראשון ומכאן ההבדל בכוח בין אקסיומות פאנו מסדר ראשון לאלו מסדר שני. דניאל • תרמו ערך 18:06, 19 באוקטובר 2012 (IST)

תודה רבה, חידשת לי. Nanoo - שיחה 18:52, 20 באוקטובר 2012 (IST)

אקסיומת האינדוקציה

האם כאשר בונים את המערכת מתוך תורת הקבוצות אפשר לנסח אותה בלוגיקה מסדר ראשון? בעיקרון נראה שכן, אחרי שנגדיר את קבוצת הטבעיים כקבוצה היחידה שבה לכל איבר יש עוקב השייך לקבוצה, כל איבר מלבד הקבוצה הריקה הוא עוקב של איבר השייך לקבוצה והעוקב הוא חד חד ערכי. האם זה אכן כך, אם לא מה הפגם בזה. 195.60.235.145 15:32, 23 בדצמבר 2021 (IST)

איך מגדירים את פעולת החיבור והכפל?

האם צעד הבסיס הוא n+0=0+n=n ? אם לא איך מוכיחים את הקומטטיביות? 195.60.235.145 15:34, 23 בדצמבר 2021 (IST)

החיבור מוגדר לפי $0+n=n$ ו-$m'+n=(m+n)'$ (כאשר 'x הוא העוקב של x).

הכפל מוגדר לפי $0\cdot n=0$ ו-$m'\cdot n=(m\cdot n)+n$ (כאשר 'x הוא העוקב של x). הוכחת הקומוטטיביות בשני המקרים - באינדוקציה כפולה. עוזי ו. - שיחה 20:04, 23 בדצמבר 2021 (IST)