שיחה:משפטי ויירשטראס

על המשפט הראשון

הוכחה ללא סדרות

אני למדתי הוכחה נוספת למשפט זה שאינה משתמשת במושג הסדרה, ותהיתי האם כדאי להוסיפה.

תקציר ההוכחה -

1. לפי משפט קנטור הפונקציה רב"ש בקטע.

2. בחירת epsilon=1 וחלוקה לn קטעים באורך delta (אותו delta המתאים לe=1)

3. מציאת חסם מלעיל/מלרע לכל קטע (התמונה של נק' אמצע הקטע +-1)

4. מקסימום/מינימום כל החסמים לעיל הוא חסם מלעיל/מלרע (בהתאמה) של הפונקציה בקטע כולו.

הבעיה שלי היא בהתייחסות לקבוצה סגורה בתחילת הערך - מושג שאינו מוכר לי, אבל מזכיר קטע סגור או איחוד מס' קטעים סגורים בהגדרתו בויקיפדיה.

האם ניתן להחיל את ההוכחה על קבוצה סגורה כללית?

(לדעתי יש צורך בהוכחה שאינה משתמשת במושג הסדרות לאנשים שהמושג לא מוכר להם) יובל מדר

משפט קנטור תקף, אם אני לא טועה, על כל קבוצה קומפקטית, ולא בהכרח קטע, לכן אפשר להשתמש בו בשביל ההוכחה. הבעיה שלי עם זה היא יותר עקרונית: ההוכחה של משפט קנטור, אם נמנעים משימוש בסדרות ובמשפט בולצאנו-ויירשטראס, היא מסורבלת להחריד (עיין בהוכחה שמופיעה בספר של האוניברסיטה הפתוחה), ולכן אם אתה רוצה שהקורא בויקיפדיה יוכל לעקוב אחרי שרשרת המשפטים, תצטרך לדחוף לו את בולצאנו-ויירשטראס לפרצוף במוקדם או במאוחר, ועדיף במוקדם, כי זה משפט שימושי מאוד. אפשר, כמובן, להוסיף את ההוכחה שלך בהמשך, להזיק זה לא יכול להזיק. גדי אלכסנדרוביץ' 18:27, 12 דצמ' 2004 (UTC)

ומה בנוגע לרעיון החלוקה לקטעים באורך delta? האם ניתן לעשות דבר כזה (או דומה) בקבוצה קומפקטית?

גם אם כן, הייתי מעדיף שלא לכתוב הוכחה זו כיוון שאיני מכיר את המושגים המדוברים היטב.

אגב, את ההוכחה למשפט ויירשטראס השני כתבתי רק למקרה של קטע סופי. יובל מדר

ייתכן שאני טועה, אבל אני לא רואה בעייתיות גם כאן בחלוקה לקטעים באורך דלתה. באופן כללי, קח כיסוי פתוח של הקבוצה הקומפקטית שמורכב מכל הכדורים הפתוחים ברדיוס חצי דלתה סביב כל אחד מהנקודות של הקבוצה הקומפקטית. בגלל שהקבוצה הקומפקטית, אפשר למצוא תת כיסוי סופי של הכיסוי הזה - כלומר, לקבל מספר סופי של כדורים פתוחים בקוטר דלתה, ולכן כל שתי נקודות בכדור פתוח מקיימות את זה שתמונותיהן במרחק 1 לכל היותר, כלומר אתה יכול למצוא חסמים לכל כדור, ואז לאחד. בכל מקרה, גם אני לא בקיא במיוחד בהוכחה הזו (למען האמת, בגרסה ה"כללית" שאני מדבר עליה עכשיו לא זכור לי אם נתקלתי, אבל אפשר לחפש אותה בספרי הטופולוגיה) ולכן גם אני לא אכתוב אותה לבינתיים. גדי אלכסנדרוביץ' 20:05, 12 דצמ' 2004 (UTC)

כמובן שההוכחה הזו תקפה רק במרחבים מטריים שבהם אפשר לדבר על רדיוסים של כדורים. ההוכחה הכללית שתמונה של קבוצה קומפקטית היא קומפקטית בכלל לא משתמשת לא בבולצאנו ויירשטראס ולא במשפט קנטור (ומצד שני, היא לא מראה בדיוק את מה שמשפטי ויירשטראס מראים - בשביל זה צריך גם להוכיח שבמרחב שעליו אנחנו מדברים קבוצה היא קומפקטית אם ורק אם היא סגורה וחסומה, וזה לא נכון בכל מרחב, וההוכחה שאני מכיר במרחבים שכן מקיימים את זה מאוד דומה להוכחה של בולצאנו ויירשטרס). גדי אלכסנדרוביץ' 06:14, 23 אוגוסט 2005 (UTC)

איזה שם מטומטם

בתור זה שכתב את הערך לראשונה מותר לי לרדת על עצמי: מה זה השם הזה? כשלמדתי אינפי 1 זה היה המשפט היחיד שניתן היה לייחס לו את התואר "משפט ויירשטראס הראשון", אבל האם גם אחרי אינפי 1 הוא ממשיך להחזיק בשם הזה, שנראה לי כללי יתר על המידה? האם אין שם טוב יותר? גדי אלכסנדרוביץ' 20:53, 22 אוגוסט 2005 (UTC)

זה השם הידוע והמוכר במקומתנו. חיפשתי בוויקי האנגלי וב-google - המשפט הזה קיים אך ללא שם מפורש. כך שנראה לי שעדיין זהו השם הנכון. נראה לי שהערך עצמו (ולא השם) דורש טיפול. אבינעם 21:09, 22 אוגוסט 2005 (UTC)

על אחת כמה וכמה יש שמות מפורשים לשני המשפטים: הראשון קרוי the boundedness theorem והשני קרוי Extreme value theorem, כאשר הראשון לא כל כך ידוע (גם ככה הוא לא כל כך מעניין כי הוא מוכל במשפט השני בין כה וכה). בויקיפדיה האנגלית, שניהם נמצאים תחת הערך Extreme Value Theorem. השמות העבריים לדעתי באמת מטומטמים כי "המשפט הראשון/שני של ויירשטראס" לא אומר כלום בשעה ו"extreme value theorem" או "boundedness theorem" כבר אומר לך משהו על אופי המשפט. השם העברי כנראה נועד לומר שזה היה המשפט הראשון שויירשטראס הוכיח/מצא ואני לא יודע אם אפילו זה בכלל נכון. מצד שני, זה השמות הידועים של המשפטים אז כנראה אין לנו ברירה אלא להמשיך להשתמש בהם... TUCG 21:48, 5 בינואר 2007 (IST)

משפט ויירשטראס איחוד

לדעתי לא נכון לאחד. אמנם המשפטים קרובים מאוד ברוחם, אולם לכל אחד יש הוכחה משלו. יש בכוונתי להוסיף את ההוכחה של המשפט הראשון המופיעה בדף השיחה לעיל (על-פי משפט קנטור וללא משפט בולצאנו-ויירשטראס), כך שנראה לי שערך אחד לא יהיה מתאים. אבינעם 05:46, 23 אוגוסט 2005 (UTC)

המשפט האחרון בערך הנוכחי מטריד אותי: לא כל קבוצה קומפקטית היא סגורה וחסומה, אלא רק בסוגים מסויימים של מרחבים. ההוכחה הכללית שתמונה של קבוצה קומפקטית היא קומפקטית לא משתמשת בכלל במשפטי ויירשטראס. אני בטוח שלעוזי הייתה סיבה טובה לכתוב מחדש את השורה הזו ולהעיף את האמירה שמדובר על מרחבים מטריים, אני פשוט לא יודע מה היא. גדי אלכסנדרוביץ' 06:14, 23 אוגוסט 2005 (UTC)

המשפטים אומרים כך: ראשית, התמונה הרציפה של קטע סגור היא חסומה מלעיל; שנית, יש לה מקסימום. ההוכחות הן: למשפט הראשון - אם לא, אפשר לבנות סדרה שערך הפונקציה לארכה שואף לאינסוף; למשפט השני - אם a חסם עליון, אפשר לבנות סדרה שערך הפונקציה לארכה שואף ל- a. בשני המקרים צריך להפעיל את העובדה שלסדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת, שהגבול נמצא בקטע בגלל שהוא סגור, ושהפונקציה רציפה.

בהיבט הטופולוגי אפילו יותר ברור שהמשפטים האלה הם תאומים סיאמיים - המשפט האמיתי הוא שתמונה של קבוצה קומפקטית היא קומפקטית (וזה נכון תמיד, הוכחה של שורה). כעת, המשפט הראשון נובע מזה שקבוצה קומפקטית היא חסומה (בכל מקום שבו יש לזה משמעות - קח כיסוי של כדורים ברדיוס שואף לאינסוף). המשפט השני נובע מכך שקבוצה קומפקטית היא סגורה (זה נכון בכל מרחב האוסדורף!). הדגמה מצויינת לכח של ההכללה הטופולוגית.

בנוסף לזה, המשפט השני חסר משמעות בלי הראשון (אי אפשר 'לקבל מקסימום' כשהפונקציה לא חסומה), והראשון נובע מיידית מהשני (אם הפונקציה מקבלת מקסימום, אז היא חסומה). ההפרדה לשני ערכים קוטעת את הרצף ומסבכת את ההסבר בשניהם.

נסיון אחרון לשכנע - אם תסירו את ההתנגדות, אני אכתוב את הערך המשולב... עוזי ו. 09:18, 23 אוגוסט 2005 (UTC)

ברוח הימים האלו, אפשר לדבר על פשרה ועל איחוד, אולם יש לי מספר בקשות:

1. שבערך המאוחד יופיעו שני המשפטים (בניסוח "משפט הראשון ..." ו"המשפט השני") בניסוחים נפרדים.
2. שיהיה גם הניסוח הפשוט ביותר (פונקציה רציפה בקטע סגור....), בנוסף להכללות.
3. שתופענה גם הוכחות שאינן דורשות את משפט בולצאנו-ויירשטראס (עבור המשפט השני - כך מופיעה ההוכחה כרגע. לגבי המשפט הראשון, מִתאר ההוכחה מופיע בדף השיחה, ואני אשמח להשלים אותו לכדי הוכחה מלאה).

האם זה מקובל? בברכה, אבינעם 09:37, 23 אוגוסט 2005 (UTC)

לי אף פעם לא הייתה התנגדות לאיחוד, שנראה לי כמו רעיון טוב. עדיין יש לי בעיה עם כך ש"המשפט האמיתי הוא שתמונה של קבוצה קומפקטית היא קבוצה קומפקטית" כי צריך לציין בפירוש את התנאים שבהם המשפט הזה גורר את משפטי ויירשטראס. עוד דבר שלא ברור לי הוא למה צריך להביא הוכחה שלא דורשת את בולצאנו ויירשטראס אבל מסתמכת על משפט שההוכחה שלו דורשת את בולצאנו ויירשטראס אחרת היא משתרעת על המוני עמודים (משפט קנטור, אלא אם מישהו יראה לי הוכחה קצרה ונטולת בולצאנו ויירשטראס, מה שישמח אותי מאוד). גדי אלכסנדרוביץ' 12:37, 23 אוגוסט 2005 (UTC)

לגדי, הסיבה היא פשוטה, ומופיעה למעלה יותר - כדי לא לקפח את קוראינו תלמידי האו"פ. באוניברסיטה הפתוחה החליטו ללמד אינפי 1 ללא סדרות, כך שהרציפות היא לפי קושי בלבד והיינה-בורל יוק, אין בולצאנו ויירשטראס ועוד כהנה וכהנה. ההוכחה של משפט ויירשטראס הראשון מבוססת על-כן על משפט קנטור. אמנם ההוכחה של משפט קנטור ללא סדרות היא אכן אינסופית, אך ההוכחה של משפט ויירשטראס הראשון היא בהחלט סבירה וראויה להופיע. בברכה, אבינעם 13:09, 23 אוגוסט 2005 (UTC)

על המשפט השני

אם אני לא טועה, משפט ויירסטרס שניים טוען שפונקציה בקבוצה קומפקטית ("סגורה וחסומה") היא סגורה וחסומה. כלומר: התמונה שלה גם קבוצה סגורה. _MathKnight_ (שיחה) 22:11, 24 יולי 2005 (UTC)

המשפט שמצוטט בערך כאן הוא הגרסה שמלמדים באינפי 1 ועוסקת בקטעים ממשיים. אם חושבים על זה, היא גוררת את מה שאתה אומר: תמונה של קטע על ידי פונקציה רציפה היא קטע (משפט ערך הביניים), ואם המינימום והמקסימום מתקבלים, הקטע סגור. באופן כללי פונקציה רציפה לא מעבירה קבוצה סגורה לקבוצה סגורה, ולכן אם רוצים להוסיף את הניסוח הכללי צריך לסייג ולומר שזה רק מעל קבוצה מסויימת של מרחבים (אני יודע ש-$\ \mathbb {R} ^{n}$ נמנים על המרחבים הללו אבל אני לא יודע אם אלו כולם). גדי אלכסנדרוביץ' 05:02, 25 יולי 2005 (UTC)

אבל פונקציה רציפה כן מעבירה קבוצה קומפקטית לקבוצה קומפקטית (הוכחה: קח כיסוי פתוח של התמונה; המקורות מהווים כיסוי פתוח של המקור, ולכן יש לו תת-כיסוי סופי; הכיסוי המתאים מכסה את התמונה). לכן פונקציה ממשית רציפה מקבלת מקסימום בכל קבוצה קומפטקטית. עוזי ו. 16:24, 15 אוגוסט 2005 (UTC)

אוקיי, אבל זה עדיין לא אומר שפונקציה מעבירה קבוצה קומפקטית לקבוצה סגורה. מה שכן, זו שאלה מעניינת אם להציג רק את ההוכחה הטופולוגית או להשאיר גם הוכחה של אינפי 1 - בסופו של דבר, גם סטודנטים שלא למדו עדיין טופולוגיה (ואולי, רחמנא ליצלן, שלא ילמדו אף פעם טופולוגיה) יכולים להתעניין בערך. גדי אלכסנדרוביץ' 18:42, 15 אוגוסט 2005 (UTC)

אני חושב שאם כבר קיימת הוכחה, עדיף שתהיה גם אחת שתתאים לתלמידי אינפי I. (אחת הסיבות לכך שניגשתי לכתוב את הערך הזה הייתה שראיתי את הערך משפט ויירשטראס הראשון, ולא הבנתי בזמנו דבר מהנאמר בהוכחה. אז רציתי שלפחות בערך זה ההוכחה תכתב בצורה הפשוטה יותר. אם יש קורא שהמשפט עשוי להיות רלוונטי עבורו, יש לדאוג שיוכל לקרוא גם את הוכחתו.)

לעומת זאת, אני חייב לציין שהערך משעמם למדי. :( פרט להוכחה ותיאור תוכנו, אין בו דבר. יובל מדר

למה לא הבנת את הערך של משפט ויירשטראס הראשון? אני חושד שזה בגלל שלמדת בפתוחה והם החליטו מסיבות שאינן ברורות לי לוותר על סדרות בחלק הראשון של הקורס, ולכן חלק מההוכחות לא משתמשות בבולצאנו ויירשטראס ויצאו מסורבלות בצורה מפחידה (בפרט משפט קנטור על רציפות במידה שווה, אבל גם משפטי ויירשטראס). במקרה כזה אני חושב שצריך דווקא לסמוך על הקורא שינסה להבין מה זה בולצאנו ויירשטראס. גדי אלכסנדרוביץ' 05:03, 16 אוגוסט 2005 (UTC)

יסמוך על הקורא שיקרא? אם נסמוך עליו, הוא עשוי להסתובב עד השבוע הבא במעבר על כל ההגדרות ושכנוע עצמי במשפטים השונים.

אבל, בנושא זה אתה צודק, אני לא בטוח שיש מקום לסרבל דברים מעבר לנדרש כאשר הרוב הגדול של הקוראים יסתדר ללא בעיה גם עם הגרסא הזו. אבל המצב שונה כמובן כאשר אנחנו מדברים על טופולוגיה. (וזו הייתה הנקודה המקורית שלי במשפט הקודם, שכרגיל נמהלה במלל פחות רלוונטי) יובל מדר

אני חושב שההוכחה למשפט השני לא מלאה

כדי להוכיח שהסדרה {Xn} שהוגדרה מתכנסת ל-S ולא למס' שהוא S=< (כמו שנובע מההוכחה הכתובה) יש צורך לחסום אותה גם מלמעלה עם הסידרה: S + 1/n ולהפעיל את משפט הסנדוויץ'.

תודה על ההערה; הרי s הוא חסם עליון, ולכן ממילא ערכי f חסומים על-ידי s מלמעלה. הוספתי אי-שוויון מתאים בהוכחה. עוזי ו. 18:22, 31 ינואר 2006 (UTC)

עוד הערה: על פי הנחת השלילה קיים אי שוויון חזק (ולא חלש כפי שנכתב) בין החסם העליון לבין ערכי הפונקציה. --קפיטוליני 04:18, 8 בפברואר 2008 (IST)

על איזה אי-שיוויון מדובר? אבינעם 12:48, 8 בפברואר 2008 (IST)

כוונתי להוכחה ב' של המשפט השני שמסתמכת על המשפט הראשון ומגדירה פונק' חדשה. ערכי הפונק' החדשה קטנים ממש מהחסם העליון (z) שלהם. זה נכון גם איך שכתוב כעת. אבל רק למען הדיוק.--קפיטוליני 15:09, 8 בפברואר 2008 (IST)

מדוע ערכי הפונקציה החדשה קטנים ממש מהחסם העליון (z) שלהם? זה לא נובע ישירות מן ההגדרה, ולכן דורש הוכחה. בברכה, אבינעם 15:29, 8 בפברואר 2008 (IST)

על פי הנחת השלילה אין מקסימום בקטע ולכן לא יתכן שוויון לכן צריך להיות קטן ממש. אבל זה לא באמת משנה--קפיטוליני 01:50, 9 בפברואר 2008 (IST)

הסרת הוכחה ב' של המשפט הראשון

הוכחה ב' הוסרה בטענה: "ההוכחה מסתמכת על משפט קנטור, המסתמך בתורו על משפט בולצאנו-ווירשטראס". אכן ניתן להוכיח את משפט קנטור על-פי משפט בולצאנו-ווירשטראס, וזוהי ההוכחה הסטנדרטית והטבעית. בספרי האוניברסיטה הפתוחה מלמדים את נושא הפונקציות לפני שלומדים את נושא הסדרות, ולכן מוכיחים את משפט קנטור (וכמובן את משפטי ויירשטראס) ללא הסתמכות על משפט בולצאנו-ויירשטראס, או על גבולות. במובנים מסוימים זה פחות טבעי, ומאולץ משהו. למרות זאת, ראוי לדעתי להשאיר את ההוכחה (כמובן, עם הערת אזהרה הדורשת להוכיח את משפט קנטור ללא בולצאנו-ווירשטראס). בברכה, אבינעם 12:45, 8 בפברואר 2008 (IST)

יש גם הוכחה שמסתמכת רק על חסמים וגבולות ולא על שום משפט אחר. אני לא יודע לערוך נוסחאות בוויקיפדיה אבל אם מישהו מעוניין אני יכול לשלוח לו--קפיטוליני 01:53, 9 בפברואר 2008 (IST)

מאשר (כך עושים בפתוחה) ותומך. מי שהסיר, בבקשה לדאוג להחזיר את ההוכחה. Maromn 15:11, 29 בפברואר 2008 (IST)

הוספה לערך

אולי כדאי להוסיף שבולצאנו הוא הראשון שהוכיח את המשפט ווישטראס הוכיח אותו עשרות שנים לאחר מכן? ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)