שיחה:נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)

מה עוד אפשר לעשות עם הנוסחאות כדי שיראו יפות יותר? גדי אלכסנדרוביץ' 22:44, 6 אוק' 2004 (UTC)

אני לא מבין גדול, אבל הערך נראה לי בעייתי. פונקציית האקספוננט מוגדרת רק עבור מספרים ממשיים במעריך החזקה, וכאן בוחרים להתעלם מזה. כשלמדתי על הרחבת פונקציית האקספוננט למספרים מרוכבים, בחרו להגדיר פונקציה חדשה, שכוללת מראש את השימוש בסינוס וקוסינוס, לא "הוכיחו" שכאשר מציבים באקספוננט מספר מרוכב זה מה שיוצא. בסך הכל - טור החזקות של האקספוננט שמוצג כאן הוא משהו שלא נשלף מהשרוול, ישבו והוכיחו שהוא אכן מייצג את האקספוננט. כלומר - למרות שההוכחה כאן היא קבילה (ואני בעצמי נתקלתי בה כבר) הרי שהיא לוקה מאוד בחסר, ולא מתייחסת לנקודות העדינות שהכרחי להתייחס אליהם בנושא הזה. (אני מתנדב לתקן את הערך כנדרש אחרי שאלמד את זה בצורה מסודרת, בתקווה שזה יהיה בקרוב). גדי אלכסנדרוביץ' 10:16, 12 אוק' 2004 (UTC)

את פונקציית האקספוננט ניתן להגדיר גם כטור חזקות (ויש הוכחה שטור החזקות הנ"ל שקול להגדרות האחרות של אקספוננט). קל להראות שבמקרה הממשי הטור מתלכד ל e^x הקלאסי. כעת, מאחר שהאקספוננט ניתן להגדרה בתור טור חזקות, קל להרחיב את ההגדרה כך שהארגומנט x יהיו לא רק מספרים ממשיים אלא כל דבר שאפשר להגדיר עליו חיבור, כפל וחזקה (למשל: אופרטורים ומטריצות - יש כזה דבר אקספוננט של אופרטור. נסה לחשב למשל את הגדול הבא $e^{d \over dx}$ ותופתע לראות מה תקבל :) ). בפרט, אפשר להרחיב את הגדרת האקספוננט כך שהארגומנט יהיה מרוכב, ומאחר שברור שהטור מתכנס, כל החישובים לעיל תקפים. אומנםזה לא רשום כאן בצורה הכי ריגורוזית, אבל זה מסביר מדוע נוסחת אוילר נכונה. MathKnight 12:53, 24 אוק' 2004 (UTC)

בכלל לא ברור שהטור מתכנס, אבל אני מסכים שצריך להוכיח את הדברים הללו במקום אחר, רצוי בערך על פונקציית האקספוננט עצמה. כאן צריך להתייחס לזה אולי במשפט אחד. אחרי שאני אלמד את זה בצורה פורמלית (בעתיד הקרוב, נראה לי) אני אוסיף את זה בעצמי אם עוד יהיה צורך. גדי אלכסנדרוביץ' 12:56, 24 אוק' 2004 (UTC)

קל להוכיח שהטור מתכנס במידה שווה בכל כדור סגור וחסום (משפט קושי-האדמר ומשפט דלאמבר) אבל זו סתם פנקסנות מייגעת. MathKnight 22:34, 11 נוב' 2004 (UTC)

אני לא בטוח שגם אם אפשר להוכיח את זה, צריך דווקא כאן ולא בערך על אקספוננט או על טורים. אני אחזור לעניין הזה אחרי שאני אלמד את ההוכחה. גדי אלכסנדרוביץ' 06:13, 12 נוב' 2004 (UTC)

יש ערך רב יותר בהוכחת ההתכנסות במ"ש. העניין הוא בעיקר בכך שיש הכללות של פונקציית האקספוננט לאופרטורים (גם באלגבראות לי וגם במכניקת הקוונטים (שלמעשה, זה אותו דבר, אבל לא חשוב...). האם ההוכחה בעזרת קושי-האדמר ודלאמבר מכסה גם מקרים אלו? Amitayk 07:57, 12 נוב' 2004 (UTC)

כן. הרעיון הוא פשוט להוכיח התכנסות בהחלט, ואז עוברים למספרים ממשיים (חדו"א הישן והטוב) ע"י הפעלת הנורמה. MathKnight 15:46, 21 נוב' 2004 (UTC)

היררכיה בויקיפדייה

גילגמש. למה שוב אתה מוחק. שוב ללא התרעה ,ושוב לאל שיחה. כשדוד שי משחזר כי לטעמו האקסלוסיבי התוספת כן ראוייה ,אני לא רואה אפילו דיון על העניין. Odedee ,אם לטעמך הציטוט לקוי או אינו מדיוייק ,אתה מוזמן לדון על כך ,או אפילו לערוך אותו בהתאם. שחזור כל התרומה זה צעד גס ועצלני. רק עוד מסמר בארון של הנגר. מרווה הפיגמנטים 18:18, 7 ינואר 2006 (UTC)

שים לב שדוד שי שחזר בצורה חלקית, תוך שכתוב מסויים (ונכון) של מה שכתבת. מה שכן, אני איתך באופן עקרוני - לא ברור לי למה ישר למחוק. אפשר קודם להתריע בדף השיחה, ואפשר למחוק רק חלק או לשכתב. האזכור של זהות אוילר בערך הוא דווקא במקום. גדי אלכסנדרוביץ' 19:07, 7 ינואר 2006 (UTC)

אני שיחזרתי בעקבות השיחזור של עודד. גילגמש • שיחה 19:08, 7 ינואר 2006 (UTC)

לא באתי בטענות אלייך במקרה הזה, ובכל זאת: גם אם מישהו משחזר ערך, וגם אם זה מישהו שבדרך כלל דעתו מוערכת, ייתכן שהוא טועה. לא צריך להעניק לו מיידית גיבוי, אלא אם מדובר במקרה שבו ברור לגמרי שהמחיקה מוצדקת. באופן כללי, אני מציע להתייחס בחשדנות לכל מחיקה של תוכן שקשור לערך ולא התנהלה שיחה עליה קודם. גדי אלכסנדרוביץ' 19:11, 7 ינואר 2006 (UTC)

מאחר שיש לנו ערך נפרד על זהות אוילר והתוספת שלך רלוונטית אך ורק אליה ולא לנוסחת אוילר הכללית, שם המקום ולא פה. אני חושב שגם דוד שי טעה בכך שבחר להכניס את התוספת לפה ולא לשם. odedee • שיחה‏ 19:15, 7 ינואר 2006 (UTC)

זה בסדר גמור, לא כולם צריכים להסכים על כל הדבר. בשביל זה יש דפי שיחה. הרעיון בדפי השיחה הוא שבאמת ישתמשו בהם לפני שמסירים משהו מהערך. לעצם העניין: עד כה, לפחות עד כמה שאני רואה, לא היה קישור לזהות אוילר מתוך הערך הזה. האם לדעתך זה מצב תקין? אם לא, צריך איכשהו לאזכר אותה. לדעתי, אגב, הכי טוב לאחד את הערך הזה יחד עם זהות אוילר - אני לא רואה למה צריך שני ערכים נפרדים. גדי אלכסנדרוביץ' 19:18, 7 ינואר 2006 (UTC)

נכון שאין להעניק גיבוי מידי, אבל מהכרות עם עודד, אני בטוח בכך שעריכתו עניינית. מה גם מדובר בערך שהוא בתחום התמחותו. בהתחשב בעובדה שמר מרווה הפיגמנטים מרבה בווכחנות יתר, העדפתי לא לדון על השינוי, אלא לשחזר. אזכיר לך שרווה הפגימנטים עריכות בעייתיות רבות, בינהן השחתת דף משתמש של ויקיפד אחר ויצירת ערכי זבל. עריכתו ששוחזרה על ידי ויקיפד אחר בהחלט יוצרת חשד סביר לאי רלוונטיות. גילגמש • שיחה 19:22, 7 ינואר 2006 (UTC)

אני אגיד לך איך אני רואה את זה: מצד אחד, מישהו עם רקורד של וכחנות וכתיבת ערכי זבל. מצד שני, מישהו עם רקורד של קודם למחוק ואחר כך לשאול שאלות. נראה לי כמו פוטנציאל לפיצוץ, כשלדעתי אפשר דווקא להימנע מזה, ושני הויקיפדים יוכלו לתרום הרבה לויקיפדיה אם לא יעסקו כל הזמן במלחמות. אני מציע להתייחס לשינויים תמיד לגופו של שינוי, לא לגופו של משנה. גדי אלכסנדרוביץ' 19:29, 7 ינואר 2006 (UTC)

גוף המשנה וגוף השינוי קשורים זה בזה. משתמש זה בעייתי בעיני ולכן עריכותיו נבדקות בקפדנות. בכלל, יש לשקול את חסימתו. גילגמש • שיחה 19:30, 7 ינואר 2006 (UTC)

אני חולק על דעתך. לא צריך לפתח דיונים בדפי שיחה על דברים שהם בעליל מתחת לסף. אם לא היה לנו קישור לזהות אוילר בערך זה כמובן חוסר שיש לתקן, אבל אין זה מצדיק תוספת שהיא, אם להיות ישיר, שגויה. אינני יודע מאיפה מרווה הפיגמנטים לקח את הרעיון, אבל לקרוא על חמישה קבועים בנוסחת אוילר זה פשוט מטופש. נכון שאפשר להתייחס לזהות אוילר גם בערך נוסחת אוילר, אבל כשיש ערך נפרד, כפי שכתבתי, המקום הוא שם. אפשר להציע לאחד את הערכים (לדעתי אין זה רצוי) אבל כל עוד אין מאחדים אותם, התוספת הזו על פניה אינה שייכת לערך הזה. ונכון שאפשר לדון על זה לפני השחזור, ולפעמים אני גם עושה כן, אבל במקרה הזה אינני חושב שטעיתי. odedee • שיחה‏ 19:31, 7 ינואר 2006 (UTC)

למען האמת, עד עכשיו לא הבנתי מה הבעיה העקרונית עם התוספת לערך (כמו שדוד שי הוסיף אותה לבסוף) ולכן לא שכנעת אותי (למרות שהדיבורים על היראה שהיא מעוררת במתמטיקאים אכן צריכה הייתה להסתלק). אנא, נסה לזכור שהמטרה של ויקיפדיה היא להיות חופשית ככל הניתן, ופירוש הדבר שגם לתרומות שלא מוצאות חן בעינינו יש סף סבלנות כלשהו. בקיצור - אני כן חושב שטעית, ומקווה שתיקח את זה לתשומת לבך בעתיד.

אגב, למה מטופש לדבר על חמישה קבועים בנוסחת אוילר? זה גם הניסוח שאני מכיר. 0 ו-1 שניהם מספרים מרכזיים באלגברה - האחד הוא הנייטרלי לכפל, והשני הוא הנייטרלי לחיבור. גדי אלכסנדרוביץ' 19:40, 7 ינואר 2006 (UTC)

כנראה שעליך לקרוא את הערך... בנוסחת אוילר אין לא 1 ולא 0. אתה מתבלבל עם הזהות. אני מבין שאתה חושב שטעיתי, אבל כנראה נצטרך להסכים לא להסכים. odedee • שיחה‏ 19:43, 7 ינואר 2006 (UTC)

אני חושש שאתה הוא זה שצריך לקרוא את מה שהוא מוחק. בטקסט שמחקת מוזכרת במפורש הנוסחה $\!\,e^{i\pi }+1=0$ ועליה מדובר. גדי אלכסנדרוביץ' 19:47, 7 ינואר 2006 (UTC)

אתה צודק. קראתי את העריכות האלה יותר מדי פעמים היום. הטקסט שהוסף נוסח כך: "נוסחא זו עבור תטא=פאי... נקראת לעתים נוסחאת האלוהים", ניסוח שמתפרש כאילו פיינמן התכוון לנוסחת אוילר ולא לזהות. בוא נראה מה היה לנו פה: שגיאת כתיב שחזרה שלוש פעמים, ניסוח מטעה, טקסט לא אנציקלופדי, ובמיוחד: כל התוספת בכלל תפורה לזהות אוילר ולא לנוסחת אוילר. בעיני אלה נימוקים מצוינים לשחזור, גם אם אתה אינך משתכנע. odedee • שיחה‏ 20:08, 7 ינואר 2006 (UTC)

לדעתי אלו נימוקים מצויינים לשכתוב התוספת, לא למחיקה ללא דיון מוקדם. הבעיה העיקרית שלי היא שאנחנו מנהלים את הדיון הזה כעת, במקום שננהל אותו קודם (מה שהיה מוביל ככל הנראה לתוספת מהצורה שכרגע נמצאת בערך, ולהרבה פחות רגשות רעים שמעורבים בכל העניין). גדי אלכסנדרוביץ' 20:19, 7 ינואר 2006 (UTC)

דעתך ברורה. לי לפחות אין רגשות רעים. אני עדיין חושב שכל העניין לא שייך פה, ושהמשתמש שראה בתקציר העריכה שלי שהתוספת שלו שייכת לזהות אוילר היה צריך להוסיף אותה לשם במקום להחזירה הנה. בערך על הזהות כמובן שלא הייתי חושב לשחזר אלא הייתי משכתב לנוסח דומה למה שיש פה כעת. (כבר אמרתי שלדעתי זה לא המקום, נכון? :-))odedee • שיחה‏ 20:28, 7 ינואר 2006 (UTC)

odedee כתב "אני חושב שגם דוד שי טעה בכך שבחר להכניס את התוספת לפה ולא לשם". המעבר מנוסחת אוילר לזהות אוילר באמצעות הצבה נראה בעיני שימוש נאה בנוסחה, ולכן רלבנטי גם לערך זה. לגבי דבריו של פיינמן, אפשר לתת אותם גם בערך זהות אוילר, אך יש להם מקום גם כאן. דוד שי 19:37, 7 ינואר 2006 (UTC)

ההוכחה השנייה שהוספתי

לעוזי, אמנם אתה טוען שזהו "שכנוע לא רע שהנוסחה נכונה", אך עם טיפה שיפוצים ניתן להפוך אותה להוכחה מתמטית נכונה. טענת שאין צורך בשתי הוכחות, אבל את ההוכחה עם טורי טיילור, לא ניתן להבין עם ידע של תיכון בלבד, לעומת זאת, ההוכחה השנייה מתבססת בעיקר על ידע תיכוני, ותלמידי תיכון יכולים להבין אותה. כמובן, בסופו של דבר אתה מחליט מה יהיה, אבל אני חושב שיש מקום להוכחה השנייה, ולא צריכה להיות בעיה להפוך את ההוכחה שצרפתי ליותר מדויקת ונכונה מתמטית.

1. אני לא מחליט שום דבר.
2. מחקתי את התוספת בלי דיון מכיוון שהוספת אותה כאלמוני, ותורמים אלמוניים (כמעט תמיד) לא חוזרים לכאן. כעת אפשר ללבן את העניין טוב יותר (עדיף שתרשם, אפילו בשם בדוי, אבל זו כמובן לא חובה).
3. ההסבר השני היה הסבר ולא הוכחה, משום שהוא מסתמך על כך טיב הקירוב ליד אפס, ואז עובר לגבול. צריך די הרבה עבודה כדי להצדיק את המעברים האלה, ובסופו של דבר (אם מחליפים את נפנופי הידיים בהוכחה מלאה) נמצא את עצמנו בונים טורי טיילור, בדיוק כמו בהוכחה הראשונה.
4. (כתבתי, מחקתי. כדי לחסוך בזמן אני אטפל בערך עצמו). עוזי ו. 23:10, 14 פברואר 2006 (UTC)

אני לא כל כך מבין את התיקון. אתה כותב שאפשר להגדיר את הפונקציה המעריכית בעזרת הגבול $\ \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}$. זה מאוד נחמד, אבל מי מבטיח לנו שהגבול קיים? ממה שאני זוכר, באינפי עובדים לא מעט כדי להוכיח שהוא קיים במספרים ממשיים. האם ההוכחה עוברת מייד גם למספרים מרוכבים, או שאנחנו מחביאים כאן מהקורא את המורכבות של הבעיה? גדי אלכסנדרוביץ' 05:06, 15 פברואר 2006 (UTC)

ההוכחה שהגבול קיים עבור x מרוכב לא הרבה יותר קשה מהמקרה הממשי (שהוא אכן די מסובך כשלעצמו). אפשר להרחיב בנושא הזה בפונקציה מעריכית. עוזי ו. 08:25, 15 פברואר 2006 (UTC)

עוד נוסחאות אוילר

אוילר היה אחד המתמטיקאים הפורים בכל הזמנים, וישנם מספר נוסחאות חשובות הקרויות על שמו. לדוגמא ישנה נוסחא חשובה בתורת הגרפים שלפיה V+F=E+2 - (מספר הפאות והקדקדים הם בשניים יותר ממספר הצלעות). אם אין שום התנגדות אני רוצה להעביר את הכתוב בדף הזה לדף בשם נוסחאת אוילר (אנליזה הרמונית), ליצור דף בשם נוסחאת אוילר (תורת הגרפים), ולהפוך את הדף הזה לדף פירושונים. טוקיוני 00:10, 8 בנובמבר 2007 (IST)

נכון שיש יותר מ"נוסחת אוילר" אחת. (ראה למשל הלמה של גאוס). אפשר לבצע את ההעברות אחרי שייכתב נוסחת אוילר (תורת הגרפים) (נוסחת ולא נוסחאת). עוזי ו. 00:18, 8 בנובמבר 2007 (IST)

לאחר שינוי שם הנוסחה לנוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת) ויצירת דף פירושונים, התנהלה השיחה הבאה שמועתקת מדף שיחה משתמש טוקיוני:

שים לב שיש כעשרים קישורים לערך נוסחת אוילר. בעקבות שינוי השם, רצוי לתקן את הקישורים. אם המשמעות הנוכחית היא הדומיננטית, ייתכן שעדיף להחזיר את המצב לקדמותו, ולתת פירוש נוסף שיפנה לנוסחה האחרת. דוד שי 17:28, 9 בנובמבר 2007 (IST)

אני מתקן את הקישורים. 20 זה לא מספר כל-כך גדול. טוקיוני 17:31, 9 בנובמבר 2007 (IST)

20 שערות על הראש זה מספר קטן מאוד, 20 שערות במרק זה מספר ענק :-) דוד שי 17:56, 9 בנובמבר 2007 (IST)

מספר הקישורים הוא עדות לכך שהנוסחה שמכיר רוב הציבור, וזו ששימושית ביותר, היא של האקספוננט. במצב זה העברת הערך ופתיחת דף פירושונים יוצרת סרבול מיותר לקורא ולכותב, ועדיף היה לא לבצע אותה. ‏odedee • שיחה 22:46, 9 בנובמבר 2007 (IST)

תיקנתי את כל הקישורים. התייעצתי בנושא גם עם עוזי ו. בארץ נהדרת היום חנה מרון התלוננה שלא משנה כמה שייקספיר וחנוך לוין היא תשחק, תמיד יזכרו אותה בזכות: "פתוח". אני חושב שאם אוילר היה יודע שמכל הנוסחאות שלו זוכרים רק אחת הוא גם לא היה מרוצה. טוקיוני 22:54, 9 בנובמבר 2007 (IST)

זה ייתכן בהחלט, אבל את ויקיפדיה כותבים כדי שקהל הקוראים יהיה מרוצה, לא אוילר ז"ל. ‏odedee • שיחה 23:01, 9 בנובמבר 2007 (IST)

זה לא יפה להשתמש בטיעונים שלי נגדי! טוקיוני 23:03, 9 בנובמבר 2007 (IST)

לקוראים, זה יפה... ‏odedee • שיחה 23:06, 9 בנובמבר 2007 (IST)

הנה שאלה לגבי מדיניות ויקיפדיה. נגיד שמאה קוראים מקישים "נוסחת אוילר" ומותכם 80 מתכוונים לנוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת) ו20 מתכוונים ל נוסחת אוילר (תורת הגרפים). האם בשביל ש-80 הראשונים יהיו יותר מרוצים נגרום לכך ש-20 האחרונים יחשבו שלא קיים בויקפדיה הערך נוסחת אוילר (תורת הגרפים)? טוקיוני 23:10, 9 בנובמבר 2007 (IST)

חלילה. אם נדע לאשורו שזה המצב, נוסיף {{פירוש נוסף}} בערך על האנליזה. כך, 80 יגיעו מיד לערך שרצו, ו-20 יגיעו לאחר לחיצת עכבר נוספת. במצב הנוכחי, כל ה-100 יצטרכו להקשה הזו. ‏odedee • שיחה 23:14, 9 בנובמבר 2007 (IST)

בתור אחד שאוהב משחקים יותר מדברים רציניים אני לא חושב שאני מוסמך לקבוע מה מידת החשיבות של נוסחאות אוילר השונות, והאמת שההצעה שלך של הפנייה קטנה נראית לי גם בסדר. עדיף שמישהוא מוסמך ממני יקבל את ההחלטה. מצד שני גם אין לי רצון לעבור ולשנות את כל ההפניות חזרה. שיניתי היום בערך 20 הפניות ואתה יכול לראות את המילים של דוד שי פה למעלה על כמה הרבה זה 20 הפניות. טוקיוני 23:20, 9 בנובמבר 2007 (IST)

אם תאמר באיזה ערך התחלת לשנות את ההפניות ובאיזה סיימת, אוכל לשחזר את כל השינויים ביניהם. ייקח לא יותר מ-30 שניות לתקן אותן - שחזור מהיר, כשמו כן הוא. ‏odedee • שיחה 23:31, 9 בנובמבר 2007 (IST)

כל הערכים המקושרים לנוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת), היו מקושרים קודם לנוסחת אוילר בגירסה הקודמת. אל תגע בערכים שמקושרים לנוסחת אוילר (תורת הגרפים). כמו-כן אני מעביר את השיחה הזאת לדף של נוסחת אוילר. טוקיוני 23:37, 9 בנובמבר 2007 (IST)

בהתאם לנאמר, ביטלתי את דף הפירושונים, העברתי את נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת) אל נוסחת אוילר והוספתי פירוש נוסף המפנה אל נוסחת אוילר (תורת הגרפים). ‏odedee • שיחה 05:02, 10 בנובמבר 2007 (IST)

אני לא יודע מתי נקבע ש"נוסחת אוילר" היא דווקא ההגדרה של פונקציית האקספוננט למספרים מרוכבים. יש עוד נוסחאות אוילר (זו של תורת הגרפים; זו שקשורה לפירוק של פונקציית זטא), וההכרעה לפי מספר הקישורים בויקיפדיה (ברגע מסויים, התלוי בכותבים מסויימים) אינה סבירה. לדעתי "נוסחת אוילר" צריך להיות דף פירושונים. עוזי ו. 18:49, 10 בנובמבר 2007 (IST)

אם יש כמה נוסחאות לדעתי יש להשתמש בפירושונים, ולהוסיף שם גם את הנושחאות שאין להן ערך. סתם עומר • שיחה • גם אני רוצה לקדם מיזם 01:32, 11 בנובמבר 2007 (IST)

חבל,

כמובן, כל מה שכתוב בערך נכון, אך אין פה שום הסבר אינטואיטיבי מדוע נוסחה זו נכונה.

היה נחמד אם היה נשאר ההסבר האינטואיטיבי של הצבת ix בטור הטיילור או אחד ההסברים האחרים.

מסכים. גם אני חושב שיש מקום ל"הוכחה" באמצעות טורי טיילור והצבת ix בו. בברכה, MathKnight הגותי 23:35, 25 בינואר 2008 (IST)

אישית אני יכול להגיד שנכנסתי לערך הזה רק בשביל לחפש ההוכחה, ובמיוחד אחת שאוכל להבין איתי -- 19:59, 30 בינואר 2008 (IST)

ערך אנציקלופדי על נוסחה צריך לכלול את הנוסחה אבל להתמקד לא בהוכחות מתמטיות אלא בהיסטוריה של הנוסחה, בחשיבותה ובשימושיה. הוכחות מקומן בוויקיספר או בספר לימוד אחר, ואפשר כמובן לקשר אליהן. ‏odedee • שיחה 23:12, 30 בינואר 2008 (IST)

אז למה כמעט בכל הערכים בויקיפדיה על נוסחאות (כולל בגרסה באנגלית של הערך הזה) יש הוכחה? אני חושב שבכל זאת הערך צריך לכלול את ההוכחה.

ערכים אנציקלופדים לא חייבים להכיל הוכחה, והדגשים שמציין עודדי הם הדגשים החשובים, ומצד שני אין מניעה להוסיף הוכחות פשוטות לערכים, ואכן ערכים רבים בויקיפדיה מכילים הוכחות. מי שרוצה מוזמן לעשות זאת. טוקיוני 16:45, 1 באפריל 2009 (IDT)

אגב אני מכיר רק את ההוכחה לפי טור טיילור, שהיא טכנית, אני לא רואה בה יופי מיוחד מלבד מהתוצאה הסופית. מישהו מכיר הוכחה אחרת? טוקיוני 10:26, 2 באפריל 2009 (IDT)

יש עוד שתי הוכחות בגרסה האנגלית של הערך.