שיחה:שדה המספרים הממשיים

מרבה אקסיומות מרבה דאגה

השינוי האחרון בערך מוסיף רשימת "אקסיומות"; אבל בפסקה הראשונה ("נשים לב כי למרות שחלק מהתכונות נקראות "אקסיומות", למעשה הן נובעות מהבנייה של המספרים הממשיים, ואינן שרירותיות כלל.") מסבירים שהן לא באמת אקסיומות, רק החלטנו לקרוא להן ככה מסיבות לא ידועות. המשך הפסקה ("ואכן, במקביל להגדרה האקסיומטית של שדה הממשיים פרסמו מתמטיקאים בניות למספריים הממשיים המשתמשים במושגים בסיסיים יותר כגון סדרות, קבוצות ומספרים רציונליים.") הוא חזרה מעורפלת על דברים שנאמרו קודם לכן במפורש ("כאשר ב-1872 פרסם גאורג קנטור מאמר שבו בנה את המספרים הממשיים באמצעות סדרות קושי של מספרים רציונליים; בנייתו (השקולה) של ריכארד דדקינד את המספרים הממשיים באמצעות חתכי דדקינד פורסמה מעט מאוחר יותר באותה שנה.").

לפני שנעבור על האקסיומות, הנה הפסקה שכתבתי תחת "תכונות": "השדה הממשי הוא בראש וראשונה שדה סדור. בנוסף, הוא מרחב מטרי שלם ביחס למטריקה המוגדרת על-ידי הערך המוחלט: אם A היא קבוצה חלקית לממשיים שאיננה ריקה והיא חסומה מלעיל אזי קיים לה חסם עליון".

"אקסיומה" ראשונה: "קבוצת המספרים הממשיים מהווה שדה אלגברי."

מה זה "שדה אלגברי"?

כתוב כבר: השדה הממשי הוא בראש וראשונה שדה.

"אקסיומה" שניה: "אקסיומת הסדר: קיים מעל קבוצת הממשיים יחס סדר מלא, המקיים: הוא יחס סדר מלא; איזוטוניות ביחס לסכום; (כפל בחיוביים). הערה: באמצעות שלושת האקסיומות הנ"ל ואקסיומות השדה אפשר להוכיח ש 1>0".

כתוב כבר: השדה הממשי הוא בראש וראשונה שדה סדור.

"אקסיומה" שלישית: "אקסיומת השלמות: זוהי האקסיומה המייחדת את המספרים הממשיים מהמספרים הרציונליים ושממנה נובעת השלמות שלהם.

כתוב כבר: השדה הממשי הוא מרחב מטרי שלם.

המלצתי: לחזור לגרסה הקודמת. לחילופין, יש להקים ועדה שתתכנן בעל חיים בעל כושר משא ועמידות בתנאי מדבר. עוזי ו. 12:40, 2 ינו' 2005 (UTC)

שוחזר. דוד שי 20:05, 2 ינו' 2005 (UTC)

אז מה זה מספרים ממשיים?

יש בערך הזה הכל אבל אין בו כלום. יש תכונות, יש עוצמה ויש היסטוריה. רק דבר אחד פשוט לא הצלחתי להבין מהערך: מה זה מספרים ממשיים? מדובר בנושא בסיסי שנלמד ביסודי. לדעתי ראוי להרחיב כמה משפטים להבהרת המושג בצורה פשוטה.--קפיטוליני 12:56, 30 בנובמבר 2006 (IST)

זהו, שזה לא נושא בסיסי, לא נלמד ביסודי וגם לא בתיכון. במקרה הטוב אומרים חצי מילה על כך שמספרים ממשיים הם "כל המספרים שנמצאים על הישר" (אמירה שמובאת גם בערך, אם כי בצורה אולי מעט מסורבלת: "נהוג לזהות את שדה המספרים הממשיים עם הישר החד-ממדי האינסופי הרציף"). איך אתה היית מרחיב את הערך כדי להבהיר את המושג בצורה פשוטה? גדי אלכסנדרוביץ' 13:04, 30 בנובמבר 2006 (IST)

אפשר לתת דוגמאות למספרים ממשיים ודגמאות למספרים שאינם ממשיים.--84.108.122.88 16:44, 16 בנובמבר 2009 (IST)

ראה מספר ממשי. עוזי ו. - שיחה 17:21, 16 בנובמבר 2009 (IST)

עוצמת המספרים הממשים

היא עוצמת קבוצת החזקה של הטבעיים כך כתוב בערך מה ההוכחה?

מבשר

קישור לוויקינתונים

שלום לכם, הערך הזה מקושר כרגע לערך האנגלי Real number, בעוד שהערך מספר ממשי לא מקושר לוויקי נתונים בכלל (יש קישורים ישנים בקוד מקור בערך). קודם כל בתור אחת שחדשה בתחום אשמח לדעת אם יש הבדל משמעותי בניהם ומהו. אם אין הבדל אולי כדאי לאחד בניהם כי הערך על מספר ממשי קצרמר. אם יש הבדל נראה לי שכדאי לתקן את הקישורים לוויקי נתונים בהתאם. מה דעתכם? Chenspec - שיחה 16:21, 18 בספטמבר 2015 (IDT)

יש הבדל מהותי בין מספר ממשי וקבוצת המספרים הממשיים, לבין שדה המספרים הממשיים, שהוא קבוצת המספרים הממשיים יחד עם פעולות החיבור והכפל. בעוד שהמספרים הממשיים (5, 1/2 וכו') מוכרים למדי, את שדה המספרים הממשיים פוגשים רק באוניברסיטה, כך שהוא מוכר רק למתי מספר. בוויקי האנגלית ערך אחד משמש לשני המושגים, אך אני מעדיף את הגישה שלנו. לדעתי ניתן להרחיב את הערך שלפנינו בתכונות של המספרים הממשיים שאינן קשורות להיותם שדה. דוד שי - שיחה 17:25, 18 בספטמבר 2015 (IDT)

תודה על התשובה, נשמע לי הגיוני. קצת בדקתי מה קורה בערכים קרובים ונראה לי שיש קצת בלגן. למשל, כרגע אין בכלל ערך לקבוצת המספרים הממשיים, קבוצת המספרים הטבעיים היא הפנייה למספר טבעי ולערך של "קבוצת המספרים השלמים" קוראים חוג המספרים השלמים ובמקביל אליו מתקיים הערך מספר שלם. ראיתי שיש גם עוד שדות מספרים כמו שדה המספרים המרוכבים. אני שוקלת איך כדאי לארגן את זה גם שיהיה יותר ברור וגם אולי לעשות תבנית ניווט שיהיה אפשר לעבור בין הערכים הדומים כשרואים בדיוק מה ההבדלים בניהם. האם נכון להגיד שבאופן כללי ה"שדה" הוא הערך הראשי, שאחריו "קבוצה" ואחריו "מספר"? Chenspec - שיחה 18:28, 18 בספטמבר 2015 (IDT)

ושאלת תם - מה הכוונה במשהו שמכיל גם מספרים מסוימים וגם פעולות (הגדרות השדות השונים אם הבנתי נכון). האם זה מספרים שאפשר לעשות עליהם את הפעולות או המספרים והתוצאות של הפעולות או משהו אחר? Chenspec - שיחה 18:32, 18 בספטמבר 2015 (IDT)

חחח... עכשיו ראיתי את תבנית:מערכות מספרים היא מקופלת למטה אז לא ראיתי אותה קודם, אפשר לפתוח אותה שיהיה בולט יותר? Chenspec - שיחה 18:35, 18 בספטמבר 2015 (IDT)

פתחתי את התבנית.

אין צורך בערך על קבוצת המספרים הממשיים, הדיון בה הוא במסגרת מספר ממשי. שמות הערכים, שלמיטב זכרוני נקבעו על ידי עוזי, משקפים את המבנה האלגברי המורכב יותר שאפשר לייחס לקבוצה. לכן הרציונליים, הממשיים והמרוכבים הם שדה, השלמים הם רק חוג, והטבעיים הם קבוצה. דוד שי - שיחה 19:04, 18 בספטמבר 2015 (IDT)

הבנתי, עכשיו תורי ללמוד טוב יותר את הנושא כדי להבין את החלוקות האלו והשיקולים שעומדים מאחוריהן - תודה על ההסברים! Chenspec - שיחה 21:00, 18 בספטמבר 2015 (IDT)

ביכולתי המוגבלת הרחבתי את הערך מספר ממשי לפי ויקיפדיה האנגלית כך שכבר אינו קצרמר. התכונות שתרגמתי אינן תלויות (כך אני מקווה) בהיותה של קבוצת הממשיים שדה, ולכן מקומן בערך מספר ממשי. דוד שי - שיחה 22:02, 18 בספטמבר 2015 (IDT)

תודה רבה! הוספתי קצת תמונות Chenspec - שיחה 23:42, 18 בספטמבר 2015 (IDT)

בפסקה על הבנייה באמצעות סדרות קושי של מספרים רציונלים

אני חושבת שצריך לדייק יותר את ההגדרה של סדרת קושי רציונלית ושל מחלקות השקילות כי כשאומרים "לכל אפסילון גדול מ0" מתכוונים לרוב לכל אפסילון ממשי. יש לציין שכאן הכוונה היא לאפסילון רציונלי כי הממשיים עוד לא הוגדרו. רצוי גם לציין שהגדרה כזאת לסדרות קושי שקולה להגדרה עבור כל אפסילון ממשי (תוך שימוש בזה שהרציונלים צפופה בממשיים) NahtotheAhtothenonono - שיחה 18:25, 2 בספטמבר 2020 (IDT)

שינוי הסדר

עוזי ו., ראיתי ששינית את ההגדרה לסדר. ההגדרה הקודמת היתה לדעתי יותר פשוטה, וגם היה יותר קל בה להוכיח את קיום אקסיומות השדה הסדור. בדיוק עמדתי להוסיף את ההוכחות, אך כעת אני לא יודע איך לעשות זאת. תוכל להחזיר לגרסה הקודמת, או לחלופין להוסיף לערך את ההוכחות? בנציון יעבץ - שיחה 21:21, 28 בפברואר 2021 (IST)

נדמה לי שנוח יותר להגדיר את יחס הסדר החזק (משום שאין צורך לעבור לנציגים אחרים), אבל ההגדרה הקודמת היתה נכונה, ואתה יכול להחזיר אותה. עוזי ו. - שיחה 22:53, 28 בפברואר 2021 (IST)

חתכי דדקינד

מישהו יודע איך מוגדרים חיבור וכפל בחתכים: בנציון יעבץ - שיחה 22:30, 1 במרץ 2021 (IST)

חיבור מוגדר כחיבור קבוצות: $A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}$. כפל של חתכים חיוביים (=גדולים או שווים לאפס) מוגדר באותה צורה: $AB=\{ab:a\in A,b\in B\}$. הנגדי של חתך מוגדר בתור חיבור מוגדר בצורה קצת יותר מסובכת: $A^{-}=\{x:(\exists y)-A<y<x\}$. זהו אכן חתך, וסכומם הוא החתך הרציונלי 0. כעת אפשר להגדיר את הכפל גם עבור חתכים שאינם חיוביים, למשל $AB=(AB^{-})^{-}$ כאשר A חיובי ו-B שלילי, וכו'. עוזי ו. - שיחה 22:39, 1 במרץ 2021 (IST)

לא ממש הבנתי. הרי בהגדרת הכפל בחיוביים מקבלים את שדה הרציונליים כולו (כי $-1\in A$ ולכל x חיובי, $-x\in B$ ולכן $x\in AB$)? בנציון יעבץ - שיחה 20:46, 2 במרץ 2021 (IST)

וגם בהגדרת הנגדי מופיע סימן חיסור לא ברור בנציון יעבץ - שיחה 20:47, 2 במרץ 2021 (IST)

השאלה היא מהו חתך. ההגדרות שהצעתי מתייחסות לחלק העליון, ואילו אתה הגדרת חתך בתור החלק התחתון. אני מממליץ לשנות את ההגדרה (כך שחתך יהיה קבוצה סגורה כלפי מעלה, וללא מינימום). עוזי ו. - שיחה 21:01, 2 במרץ 2021 (IST)

שינוי שם

הערך בצורתו הנוכחית, לאחר שהוספתי את הבניה באמצעות חתכי דדקינד שכפי שראיתי מקובלת יותר בשאר ערכי ויקיפדיה, וגם בגרסה שהיתה לפני שהתחלתי לערוך אותו, עסק ברובו בבנית השדה הממשי ולא בשדה עצמו. רק פסקת הפתיח והפסקה "תכונות" מתייחסות לתכונות השדה. אני מציע להעביר את עיקר הערך, זה העוסק בבנייה, לערך בניית המספרים הממשיים, ואת החלקים העוסקים בשדה לערך מספר ממשי, כפי שקורה בויקי האנגלית. $\Upsilon \beth \gamma \urcorner \ \ {\big \rceil }\rceil \urcorner 3\rfloor \beth$ - שיחה 19:02, 18 במאי 2021 (IDT)

צריך להיות ערך על שדה המספרים הממשיים. הערך הזה צריך להפנות לבניות אפשריות, ולא לכלול אותן בכזה פירוט. את הבניה בעזרת חתכי דדקינד אפשר להעביר לערך חתכי דדקינד. עוזי ו. - שיחה 20:50, 18 במאי 2021 (IDT)

אמנם צריך ערך על השדה, אך כרגע עיקרו לא עוסק בשדה, ואם נסיר את פירוט הבניות, הערך יהיה באורך של פחות מעמוד. כך או כך, אני חושב שאת הערך בניית המספרים הממשיים צריך ליצור (ראה en:construction of the real numbers). $\Upsilon \beth \gamma \urcorner \ \ {\big \rceil }\rceil \urcorner 3\rfloor \beth$ - שיחה 22:17, 18 במאי 2021 (IDT)

אני מסכים עם עוזי. דוד שי - שיחה 03:07, 19 במאי 2021 (IDT)

למעשה הטענה היא שצריך להפוך את הערך הזה לקצרמר? ולא עדיף לחלק את המידע הקיים בו לשני ערכים מכובדים אחרים? $\Upsilon \beth \gamma \urcorner \ \ {\big \rceil }\rceil \urcorner 3\rfloor \beth$ - שיחה 20:30, 19 במאי 2021 (IDT)

הוא לא יהיה קצרמר. אני אשכתב אותו אחרי שהנושא של בניה באמצעות חתכי דדקינד יצא. עוזי ו. - שיחה 20:41, 19 במאי 2021 (IDT)

בסדר גמור. אתחיל לעבוד על הערך שיתאר את הבניות (כדאי לכלול עוד כמה בניות מענינות). $\Upsilon \beth \gamma \urcorner \ \ {\big \rceil }\rceil \urcorner 3\rfloor \beth$ - שיחה 20:47, 19 במאי 2021 (IDT)

אתה יכול למחוק מהערך כראות עיניך. העתקתי את כל החומר שאצטרך. $\Upsilon \beth \gamma \urcorner \ \ {\big \rceil }\rceil \urcorner 3\rfloor \beth$ - שיחה 20:56, 19 במאי 2021 (IDT)