שיחה:תורת גלואה

כתבתי שכל חבורת גלואה היא תת-חבורה טרנזיטיבית של חבורת התמורות של השורשים. בא יובל מדר ותיקן לי לחבורה טרנזיטיבית. אשמח לקבל הסבר לכוונת המשורר: מהי חבורה טרנזיטיבית? (אני מתחיל להתעייף מלתקן את התיקונים לערכים שאני כותב). עוזי ו. 20:34, 12 דצמ' 2004 (UTC)

זכרתי שהקישור לא היה תקין לטרנזיטיביות, אבל בבדיקה אני רואה שהקישור לא נשלח למילה טרנזיטיביות מלכתחילה, אז אין לי מושג. סליחה.

האם ביצעתי תיקונים שגויים לערכים נוספים שלך? אם כן, אני מתנצל על כך. יובל מדר

זו קצת אשמתי, שהשארתי את הערך 'חבורה טרנזיטיבית' בלי לכתוב מה זה. יתוקן מתישהו. עוזי ו.

ניג'וסים

"שוויון מתקבל אם ורק אם K הוא שדה פיצול של פולינום f מעל השדה F."

הפולינום צריך להיות ספרבילי, לא?

נכון, תיקנתי.

"ומכיוון שאפשר לבנות פולינומים ממעלה גדולה מחמש מעל שדה המספרים הרציונליים, שחבורת גלואה של שדה הפיצול שלהם היא החבורה הסימטרית כולה), לא ניתן לפתור את הפולינום הכללי ממעלה חמש או יותר על-ידי רדיקלים."

לא צריך לציין את זה שהפולינום ה"גנרי" הוא בעל חבורת גלואה שהיא החבורה הסימטרית כולה? זה לא משהו טריוויאלי.

אם בפולינום הגנרי כוונתך לפולינום שהמקדמים שלו בלתי תלויים אלגברית מעל הרציונליים, אז הטענה נכונה (ונובעת מקיום פולינומים קונקרטיים בעלי התכונה הזו די בקלות), אבל מסובכת מכדי לכלול אותה כאן.

עכשיו, האם תורת גלואה עוסקת בהרחבת השדות, או בתכונות של חבורת האוטומורפיזמים של הרחבות גלואה? מבחינה היסטורית, האם גלואה היה זה שהתעסק בהרחבת שדות (האובייקט "שדה" היה קיים בתקופתו?) ובכך גם מצא את פתרון הבעיות הגאומטריות של ימי קדם, או שהדברים הללו נעשו על ידי אחרים (מי?)

אלו שאלות שונות. היום תורת גלואה עוסקת בראש וראשונה בהרחבות של שדות, כאשר חבורת האוטומורפיזמים היא כלי העבודה המרכזי. אין קיום ל'תורת השדות' בלי 'תורת גלואה', אלא אולי בשוליים. לגבי גלואה, אני חושב שהוא ניסה לפתור משוואות, ולא חשב על האובייקט 'שדה'. באותו זמן חבורת גלואה לא היתה חבורה של אוטומורפיזמים, אלא תת-חבורה ספציפית של חבורת הסימטריות על קבוצת השורשים. אני לא חושב שגלואה הספיק לנסח את הפתרון השלילי לבעיות של ימי קדם; אולי נילס אבל אחראי לחלק הזה.

דבר אחד שמאוד חסר לי בערך הוא אזכור של המשפט היסודי של תורת גלואה (על ההתאמה של כל תת שדה לתת חבורה של חבורת הגלואה, העובדה שחבורת המנה של תת חבורה נורמלית מתאימה לשדות ה"תחתונים" וכו'). להוסיף? לכתוב בערך נפרד?

הוספתי פסקה, אבל בלי פירוט. למשפט היסודי מגיע ערך משלו, אבל אולי בכל זאת כדאי לתת כאן כמה פרטים.

אגב, מה זו באמת "תת חבורה טרנזיטיבית"? גדי אלכסנדרוביץ' 09:49, 4 ספטמבר 2005 (UTC)

המושג הבסיסי כאן הוא חבורה שפועלת על קבוצה. באנגלית מדובר ב- group acting on a set, וכתאור מהצד הייתי מתייחס למצב הזה בתור group action. לכן בחרתי לערך את השם פעולת חבורה. ובכן, חבורה פועלת על קבוצה אם אפשר לפרש כל איבר שלה כפונקציה מן הקבוצה אל עצמה, באופן שיהפוך את פעולת הכפל להרכבה. על כרחך הפונקציות נעשות הפיכות, כך שפעולת חבורה היא בסך הכל הומומורפיזם לתוך החבורה הסימטרית על הקבוצה (סופית בדרך כלל, אבל לא בהכרח). פעולה טרנזיטיבית היא כזו שבה יש רק מסלול אחד, כלומר כל נקודה בקבוצה יכולה (בסיוע איבר מתאים מן החבורה) לעבור לכל איבר אחר.

במקרה של תורת גלואה, לטרנזטיביות יש פירוש כזה. תהי K/F הרחבת פיצול של פולינום אי-פריק(!) f, ויהיו a ו- b שני שורשים של f. כמובן $\ F[a]$ ו-$\ F[b]$ הם תת-שדות של K. הטרנזיטיביות שקולה לכך שהשדות האלה איזומורפיים זה לזה, ויותר מכך: קיים איזומורפיזם שלהם שניתן להרחבה לאוטומורפיזם של K. בפרט, זה אומר שמבחינת תורת גלואה "כל השורשים של פולינום אי-פריק לא ניתנים להבחנה". קצת מפתיע כשחושבים על פולינום כמו $\ x^{3}-2$, שיש לו שורש אחד ממשי ושניים מרוכבים. עוזי ו. 16:14, 4 ספטמבר 2005 (UTC)

האם ספרביליות ההרחבה חשובה כדי שהחבורה תהיה טרנזיטיבית? אני זוכר שדאמיט ופוט מדגישים כבר בהתחלת הפרק על הרחבת שדות (שקודם לפרק על תורת גלואה) ששורשים של פולינום (אי פריק! אבל האם זה הכרחי?) הם "בלתי ניתנים להבדלה מבחינה אלגברית", תוצאה שהיא לבדה שווה למידה של כל הנושא (עמוד 518 במהדורה השלישית). כמובן שאם אותו שורש מופיע כמה פעמים, על אחת כמה וכמה כל השורשים הם בלתי ניתנים להבדלה. גדי אלכסנדרוביץ' 19:07, 4 ספטמבר 2005 (UTC)

בלי ספרביליות אין בכלל חבורה. קח לדוגמא את ההרחבה $\ F(t)$ מעל $\ F(t^{p})$, כאשר F הוא שדה כלשהו ממאפיין p. ליוצר t יש פולינום מינימלי אי פריק, $\ x^{p}-t^{p}=(x-t)^{p}$ (אי-פריק מעל השדה הקטן, כמובן). לפולינום הזה יש שורש יחיד. מכיוון שכל אוטומורפיזם של השדה הגדול חייב להעביר שורש של הפולינום לשורש אחר של הפולינום, הוא מוכרח להיות טריוויאלי.

לגבי האי-פריקות: חבורת גלואה של הפולינום $\ (x^{2}-2)(x^{2}-3)$ מחליפה (באופן בלתי תלוי) את השורש של 2 והשורש של 3 בשורשים הנגדיים, אבל היא (כמובן) לא יכולה להזיז את שורש-2 לשורש-3. כאן הפעולה לא טרנזיטיבית. עוזי ו. 23:47, 4 ספטמבר 2005 (UTC)

כמה הערות ושאלות

1. "תורת גלואה פותחה בנסיון להראות שאת המשוואה ממעלה חמישית (או יותר) אי-אפשר לפתור על-ידי סדרה סופית של פעולות אלגבריות והוצאות שורש." - המשוואה הכללית', כמובן (הייתי מתקן בעצמי, אבל אם כבר אני מפציץ בשאלות...)

כשאומרים "המשוואה ממעלה חמישית", נראה לי שהכוונה היא למשוואה הכללית. אם נתקן, אני חושש לאבד את הקורא שלא יודע מי זאת 'המשוואה הכללית'. (מה זו 'משוואה' הוא בדרך-כלל כן יודע).

1. "איבר של K הוא 'איבר אלגברי' (מעל F) אם הוא מהווה שורש של פולינום בעל מקדמים ב- F, ומספר טרנסצנדנטי אחרת." - איך נכנסו המספרים לעניין? מגיע לאיבר טרנסצנדנטי קישור בפני עצמו, אפילו אם הוא הפניה.

פתרתי את הבעיה בדרך בלתי-אופטימלית בעליל. אני מסכים שצריך להיות ערך נפרד על אלגבריות של איברים.

1. "כאשר F הוא שדה המכיל m שורשי יחידה מסדר m, הרחבתו על-ידי הוספת שורש m-י של איבר נקראת הרחבה רדיקלית." - האם השדה חייב להכיל את שורשי היחידה? (ואם כן, לא יותר פשוט לכתוב "שדה המכיל את כל שורשי היחידה מסדר m"?) כי אמנם, ככל שזכור לי, צריך את שורשי היחידה בתוך השדה כדי להראות שלהרחבה רדיקלית יש חבורה פתירה, אבל אין בעיה, אם השורשים לא נמצאים כבר עכשיו בשדה, פשוט להוסיף אותם (כי בסך הכל מוסיפים שורש m-י של 1).

כמה שורשי יחידה מסדר 8 יש מעל השדה בגודל 2? כשאומרים 'כל שורשי היחידה' מתכוונים לכל השורשים שאפשר לאסוף בסגור האלגברי, ובמאפיין שמחלק את m המינוח הזה בעייתי. בכל אופן הרחבתי קצת בנושא.

1. חסר לי בערך אזכור של הפולינום הגנרי, שאיתו מראים שאין לפולינום כללי ממעלה 5 פתרון.

אפשר להסתדר בלעדיו - מספיק להראות שקיים פולינום שאינו פתיר על-ידי רדיקלים (למשל $\ x^{5}-5x+1$).

1. חסר לי גם אזכור של כל מני דברים בסיסיים מעניינים אחרים בתורת גלואה. למשל, המימוש של כל חבורה אבלית סופית כחבורת גלואה מעל Q והשאלה (הפתוחה?) האם כל חבורה סופית ניתנת למימוש שכזה,

פתוחה לרווחה. הוספתי קישור לבעיית ההיפוך של תורת גלואה (Inverse Galois problem). עד שיהיה ערך כזה, ראה בעיית נתר.

1. העובדה שיש פולינומים ממעלה 3 עם שורשים ממשיים שנמצאים רק בהרחבה רדיקלית מרוכבת,

איפה מכניסים את זה בלי לשבש את זרימת הערך? אני חושב שההערה הזו שייכת למשוואה ממעלה שלישית.

1. כמה מילים על הפולינום הציקלוטומי

הוספתי הפניה.

1. (ואולי משפט קרונקר וובר?),

תורת גלואה של הרציונליים נקראת (בעצם) תורת המספרים האלגברית, ולשם המשפט הזה בהחלט שייך.

1. שדות סופיים והרחבות הגלואה שלהם,

יש קישור (תחת 'ראו גם').

1. אזכור של תורת קומר וכו'. גדי אלכסנדרוביץ' 16:40, 24 ספטמבר 2005 (UTC)

על זה, ועל המשפטים המקבילים של ארטין-שרייר במאפיין p, צריך לכתוב בהרחבה ציקלית של שדות. עוזי ו. 01:13, 25 ספטמבר 2005 (UTC)

תודה. מי כותב את הערך של המשפט המרכזי של תורת גלואה, אני (ואתה משכתב) או אתה? אגב, לא נכון יותר לתרגם המשפט היסודי של תורת גלואה? גדי אלכסנדרוביץ' 04:58, 25 ספטמבר 2005 (UTC)

באמת עדיף 'יסודי' (צריך לתקן כמה קישורים). אתה מוזמן לכתוב, ואני מן הסתם אעיר פה ושם. עוזי ו. 21:04, 25 ספטמבר 2005 (UTC)

הלמה של שטייניץ

בערך כתוב "אם K/F הרחבת גלואה מממד סופי, אז לפי הלמה של שטייניץ K הוא שדה פיצול של פולינום ספרבילי אי פריק מעל F".

הטענה, כפי שהיא מופיעה כרגע בערך, לא נכונה: $\ \mathbf {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})/\mathbf {Q}$ היא הרחבה מדרגה סופית, אך היא איננה שדה פיצול כלל, משום שאינה הרחבה נורמלית.

אם כך, למה הכוונה במשפט זה? חגי הלמן - שיחה 14:31, 29 באוגוסט 2009 (IDT)

למיטב זכרוני, הרחבת גלואה היא בפרט נורמלית. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 16:29, 29 באוגוסט 2009 (IDT)

אתה צודק, כמובן. פספסתי את המילה "גלואה". חגי הלמן - שיחה 17:01, 29 באוגוסט 2009 (IDT)

דילמה

מצד אחד, הערך הזה מתאר את פתרונה של בעיה ארוכת שנים במתמטיקה - פתרון על ידי רדיקלים של משוואה ממעלה חמישית ומעלה. ככזה, הוא אולי מתאים לקטגוריה "בעיות נודעות במתמטיקה". מצד שני, תורת גלואה איננה בעיה נודעת במתמטיקה. האם כדאי להכניס קטגוריה זו בכל מקרה? אחרת, הקטגוריה של "בעיות נודעות במתמטיקה" לא תכיל את בעיית המשוואה ממעלה חמישית, וחבל. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 23:05, 11 באוקטובר 2009 (IST)

הפתרון הוא יצירת הערך משוואה ממעלה חמישית (en:Quintic equation), שאותו תשייך לקטגוריה "בעיות נודעות במתמטיקה". דוד שי - שיחה 23:16, 11 באוקטובר 2009 (IST)