שיחת פורטל:מתמטיקה/חידה/86
אני לא יודע איך ליצור סימונים מתמטיים פה ואין לי באמת כח ללמוד עכשיו, אבל אני מוכן לספק פתרון לחידה אם מישהו מעוניין:
מסימטריה ולשם הנוחות נניח n>=0.
כמובן שאם n>t ההסתברות היא 0, כי לא נוכל כלל להגיע לנקודה. לכן נניח t>=n. כמו כן, אם הזוגיות של n וt שונה (כלומר n זוגי וt לא או הפוך) ההסתברות היא 0 (חשבו על זה בעצמכם). לכן נניח שהם מאותה זוגיות.
אופציה להגיע לנקודה n: נלך n צעדים עד אליה. נותרו לנו a:=t-n צעדים לצעוד. מכיוון שלt וn אותה זוגיות a זוגי, ולכן נוכל ללכת a/2 צעדים ימינה וa/2 צעדים שמאלה. הגענו לנקודה n.
בקצרה: צעדנו n צעדים ימינה בהתחלה (הנחנו n>=0), לאחר מכן a/2 ימינה וa/2 שמאלה. לכן, אם נבצע סה"כ t צעדים נרצה שסה"כ b:=n+a/2=(n+t)/2 מהם יהיו ימינה וa/2 שמאלה. מכאן, ההס' שלאחר t צעדים נהיה בn היא:
כאשר tCb מסמן t בחר b (חפשו את הערך קומבינטוריקה, תת-סעיף צירופים)
לאחר מספר שואף לאינסוף של צעדים כל הנקודות סימטריות, כלומר יש הסתברות זהה להיות בכל הנקודות, כלומר 0.
אני שמח שלמדתי את הקורס "מבוא לתהליכים סטוכסטים" של ד"ר שלומי רובינשטיין, כי אני גם יודע שנחזור לכל נקודה אינסוף פעמים (נובע מכך שההסתברות דלעיל מתנהגת כמו 1/sqrt(n), אם זכרוני אינו מטעני (משפט סטירלינג טו ד'ה רסקיו!), ומהלמה של בורל-קנטלי), אבל תוחלת זמן החזרה מנקודה לנקודה שואף לאינסוף.
לגבי החלק השני, ממש אין לי כח לעשות את כל הניתוח הזה מחדש, אבל הוא בול כמו הקודם רק טיפה יותר מגעיל. רק אציין שגם כאן נבקר בכל נקודה אינסוף פעמים, פונ' ההס' מתנהגת כמו 1/n(אחד חלקי n כמובן), אבל החל בהילוך מקרי תלת מימדי נחזור לכל נקודה רק מס' סופי של פעמים.
פונ' ההס' מתנהגת, אם המימד הוא d, כמו אחד חלקי n^d. עבור d>=3 ההס' מתכנסות למס' קטן מאינסוף, ובורל וקנטלי יצילו אותנו שוב (הידד!)
--יגאל
- לגבי החלק הראשון של החידה, יפה! אני אערוך את הפתרון ואוסיף אותוו לפתרון של הערך. לגבי החלק השני - של מישור קרטזי - לי לא ברור איך עושים את החשבון, כך ש'בול כמו הקודם רק טיפה יותר מגעיל' זה לא ממש פתרון. טוקיוני 01:38, 14 בדצמבר 2010 (IST)
אין בעיה, אני כנראה אשב הלילה כשיהיה זמן ואכתוב את הפתרון :)
- כתבתי את הפתרון לחלק הראשון - על בסיס הרעיון שלך, אבל במקום להתעמק בלהבין את המשוואות שלך עשיתי את הפיתוח בדרך שלי. אתה מוזמן לבדוק אם המתמטיקה שלי בסדר, ואם לא לתקן. טוקיוני 17:53, 14 בדצמבר 2010 (IST)
תודה שכתבת, רק הערה אחת-
aCb מוגדר רק עבור a>=b. לכן, מה שכתבת-
לא מוגדר, אבל אני מניח שהתכוונת הפוך. חוץ מזה, מאוד אהבתי את הרעיון של מספר מסלולים! סחתיין :)
על השני אני יושב עכשיו
טעיתי קצת, זה לא בול כמו הראשון, מכיוון שכאן אין לנו שליטה מוחלטת על כמות הפסיעות ימינה ושמאלה. יש לי פתרון אבל הוא יהיה (כנראה) לא ברור בעליל.
בתור התחלה נחשב את Q(2n)- ההס' לחזור למקום היציאה ב2n צעדים (ברור שהארגומנט חייב להיות זוגי)- כלומר ההס' לחזור מנקודה מסוימת לעצמה בדיוק לאחר 2n צעדים.
נסמן בk את מס' הצעדים למעלה. צריך לבחור k "זמנים" לפסיעות למעלה, מתוך מה שנשאר k זמנים ללמטה, ומתוך מה שנותר צריך להקדיש חצי מהפניות ימינה (ולבחור עבורם זמנים)- השאר יהיו שמאלה.
נסמן גם sum(k,0,n) את סיגמא k רץ מ0 עד n. לכן ההס' שלנו היא:
את החסר השלמתי בהערה בסוף.
כעת, כמו בראשון, צריך לבחור n צעדים למעלה, ממה שנותר m צעדים ימינה, ו(נשים לב שt-n-m זוגי)ממה שנותר לבדוק מה ההס' שנישאר במקום, בנק' (m,n):
tCn * (t-n)Cm *0.25^n *0.25^m *Q(t-n-m)
אני יודע שזה לא מובן לקרוא ככה, אבל אם תכתוב על דף שלב שלב אתה תבין את החישובים.
הערה: החשבון: (דילגתי על כמה שלבים שתוכל להשלים בעצמך אם תכתוב בעצמך. אני מעריך שגם לא תוכל להבין מה כתבתי בלי לכתוב בעצמך על דף.)
Q(2n) = sum(k,0,n)((2n)Ck * (2n-k)Ck * (2n-2k)C(n-k))*0.25^(2n) =
0.25^(2n)*sum(k,0,n)((2n)!/(k!*k!*(n-k)!*(n-k)!)=
0.25^(2n)* (2n)Cn sum(..)(nCk*nC(n-k))=