שיטת המיצוי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, שיטת המיצוי היא שיטה להוכחת נוסחה לחישוב שטח של צורה כלשהי באמצעות חסימת סדרה של מצולעים בתוך הצורה, כך ששטח המצולעים בסדרה מתכנס לשטח הצורה - ההפרש בין שטח המצולע לשטח הצורה הולך וקטן ככל שאנו מתקדמים בסדרה. באופן דומה משמשת שיטה זו להוכחת נוסחה לחישוב נפח של גוף. שיטה זו, ששימשה בעת העתיקה, היא קודמתה של האינטגרציה, ואינה משמשת עוד לאחר פיתוחו של החשבון האינפיניטסימלי. טכניקת ההוכחה המשמשת במסגרת שיטת המיצוי היא הוכחה בדרך השלילה, ולכן שיטת המיצוי אינה משמשת לגילוי נוסחאות חדשות, אך מאפשרת הוכחה פורמלית לנוסחאות שהתגלו בדרך אחרת.

את הרעיון הגה לראשונה אנטיפון, בן המאה החמישית לפנה"ס, אם כי לא ברור עד כמה הבין אותו. ביסוס לרעיון ניתן על ידי אאודוקסוס, בן המאה הרביעית לפנה"ס, באמצעות תכונת ארכימדס, שארכימדס ייחס את קביעתה לאאודוקסוס. כן ייחס לו ארכימדס את הוכחת הנוסחה לחישוב נפח חרוט באמצעות שיטת המיצוי.

בספר השנים עשר של "יסודות", ספרו של אוקלידס, נידונה שיטת המיצוי כדרך לחישוב נפחים. הספר כולל את הנוסחאות לנפח של פירמידה, של חרוט, של גליל ושל כדור.

הדגמה לשיטת המיצוי לחישוב שטח מעגל

ארכימדס, בן המאה השלישית לפנה"ס, העמיק את השימוש בשיטת המיצוי, והשתמש בה כדי לחשב, בהינתן רדיוס של מעגל את ההיקף של המעגל (ובעקבותיו את פאי, השווה ליחס בין היקף המעגל לקוטרו): נחשב את היקפם של מצולע חוסם ומצולע חסום במעגל, ומכיוון שהיקף המעגל קטן מהיקף המצולע החוסם וגדול מהיקף המצולע החסום, אפשר לחשב אותו בכל רמת דיוק שנרצה, בעזרת הגדלת מספר צלעות המצולע. בשיטות המבוססות על העיקרון של שיטת המיצוי חישב ארכימדס שטחים ונפחים של מצולעים ופאונים.

תוצאות נוספות שהוכחו באמצעות שיטת המיצוי:

  • השטח החסום על ידי קו ישר החוצה פרבולה הוא 4/3 משטח המשולש שלו אותו בסיס וגובה.
  • שטח האליפסה יחסי לשטח מלבן שצלעותיו שוות לציר הראשי והציר המשני של האליפסה.
  • נפח כדור הוא 4 פעמים נפח החרוט שגובהו ורדיוס בסיסו שווים לרדיוס הכדור.
  • נפח גליל שגובהו שווה לקוטרו הוא 3/2 מנפח כדור בעל אותו קוטר.
  • השטח החסום על ידי קטע ישר וסיבוב אחד של ספירלה הוא 1/3 משטח העיגול שרדיוסו שווה לאורך הקטע.

את המונח "מיצוי" לתיאור שיטה זו טבע גרגואר דה סן-ונסן (Grégoire de Saint-Vincent), מתמטיקאי בן המאה ה-17, שעסק בהרחבה בשיטה זו.

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • בנו ארבל, קיצור תולדות המתמטיקה, מכון מופ"ת, 2005, עמ' 116-115.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]