שיכון סגרה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

שיכון סגרה (Segre embedding) או העתקת סגרה (Segre map) היא שיכון סגור של מכפלה של מרחבים פרויקטיבים במרחב פרויקטיבי (מממד גדול יותר). קיום שיכון כזה מוכיח כי מכפלה של יריעות פרויקטיביות היא יריעה פרויקטיבית. עובדה זאת מאפשרת להגדיר מכפלה של יריעות פרויקטיביות מבלי להצטרך להגדיר את מושג היריעה האלגברית באופן כללי, ולהסתפק במושג היריעה הפרויקטיבית.

רקע ומוטיבציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מרחב פרויקטיבי הוא אוסף הישרים העוברים דרך הראשית במרחב לינארי. יריעה פרויקטיבית היא תת-קבוצה סגורה זריצקי של מרחב פרויקטיבי , זאת-אומרת קבוצה המתוארת על ידי מספר משוואות פולינומיות הומוגניות. יריעה קווזי-פרויקטיבית היא תת-קבוצה פתוחה זריצקי של יריעה פרויקטיבית. זאת-אומרת יריעה פרויקטיבית שהציאו ממנה תת-יריעה פרויקטיבית. יריעות קווזי-פרויקטיבית מהוות מחלקה רחבה מאוד של יריעות שכוללת בין השאר את היריעות האפיניות. זמן רב הגאומטריה האלגברית דנה רק בהן, וגם היום חלק נכר ממנה מוקדש להן.

אולם האילוץ להיות תת-קבוצה של מרחב פרויקטיבי הוא לא תמיד טבעי, כדי להימנע מאילוץ זה הוגדרו היריעות האלגבריות הכלליות. באופן אינטואיטיבי יריעה אלגברית היא אובייקט גאומטרי שנראה מקומית כמו יריעה אפינית. ההגדרה הפורמלית של יריעה אלגברית מורכבת למדי, ולכן במיקרים רבים נמנעים מלתת אתה. גישה זאת גובה מחיר מסוים. למשל, בלי מושג היריעה האלגברית לא ברור איך להגדיר מכפלה של יריעות פרויקטיביות או אפילו של מרחבים פרויקטיבים. לשם כך נועד שיכון סגרה.

שיכון סגרה מאפשר לשכן מכפלה של מרחבים פרויקטיבים במרחב פרויקטיבי מממד גדול יותר ובכך הופך את המכפלה ליריעה פרויקטיבית. באופן דומה בעזרת שיכון סגרה ניתן לראות כ מכפלה של יריעות פרויקטיביות היא פרויקטיבית ושל יריעות קווזי-פרויקטיביות היא קווזי-פרויקטיבית. למעשה, במונחים של גאומטריה אלגברית, לפני הגדרת מושג היריעה האלגברית, ניתן היה להגדיר מכפלה של יריעות פרויקטיביות (או קווזי-פרויקטיביות) רק באמצעות שיכון סגרה.

גם היום שיכון סגרה שימושי, מכיוון שתכונות מסוימת של יריעות פרויקטיביות (וקווזי-פרויקטיביות) לא תקפות ליריעות כלליות. כמו כן הוא משמש לבניית דוגמת של יריעות אלגבריות. לעומת זאת, מבחינה חישובית, שיכון סגרה שימושי רק בממדים קטנים, כי הוא מעלה משמעותית את ממד המרחב הפרויקטיבי, והמעלה של התמונה שלו (בתור תת-יריעה) גבוהה.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי k שדה. לצורך הפשטות נניח כי k סגור אלגברית. יהיו \mathbb{P}^n_k ו-\mathbb{P}^m_k המרחבים הפרויקטיבים מממדים n ו-m בהתאמה. נגדיר את העתקת סגרה:

s_{n,m} : \begin{array}{rcl} \mathbb{P}^n_k \times \mathbb{P}^m_k & \longrightarrow & \mathbb{P}^{(n+1)(m+1)-1}_k \\ \left( ( x_0 : ... : x_n ) , (y_0 : ... : y_m ) \right) & \longmapsto & (x_0 y_0 : x_0 y_1 : ... : x_0 y_m : ... : x_i y_j : ... : x_n y_m ) \end{array}

כאשר 0 \le i \le n \ , \ j = 0 , ... , m.

יריעת סגרה, מוגדרת להיות התמונה של העתקת סגרה:

\Sigma^{n,m}_k := s_{n,m} \left( \mathbb{P}^n_k \times \mathbb{P}^m_k \right).

הגדרה באמצעות מכפלה טנזורית[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהיו V ו W מרחבים וקטוריים. יהיו \mathbb P(V) ו-\mathbb P(W) המרחבים הפרויקטיביים המתאימים, ז"א מרחבי הישרים העוברים דרך הראשית ב-V ו-W. תהי V \otimes W המכפלה הטנזורית של V ו-W. ניתן להגדיר את העתקת סגרה

s_{V,W}:\mathbb P(V)\times \mathbb P(W) \to \mathbb P(V\otimes W)

להיות ההעתקה המושרית ע"י:

 \begin{array}{rcl} \mathbb{P}(V)\times \mathbb P(W) & \longrightarrow & \mathbb P(V\otimes W) \\
 \left( v , w \right) & \longmapsto & v \otimes w \end{array}

קל לראות שהגדרה זאת מתלכדת אם הקודמת במקרה ש-V=k^{n+1} ו-,W=k^{m+1} בהשתמש בזיהוי .k^{n+1} \otimes k^{m+1}\cong k^{(n+1) \cdot (m+1)}

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מכיוון שתמונה של יריעה אי-פריקה היא יריעה אי-פריקה. נובע שיריעת סגרה היא יריעה אי-פריקה.

טענה: יריעת סגרה \Sigma^{n,m}_k היא יריעת האפסים של כל המשוואות מהצורה

z_{ij} z_{rl} - z_{il} z_{rj} = 0

באשר i,r = 0,...,n ו-j,l = 0 , ... , m . יתר על כן, העתקת סגרה מגדירה איזומורפיזם מ- \mathbb{P}^n_k \times \mathbb{P}^m_k ליריעת סגרה.

טענה זאת מכיחה שיריעת סגרה היא יריעה פרויקטיבית כמו כן ניתן להסיק מטענה זאת שיריעת סגרה היא המכפלה של \mathbb{P}^n_k ו-\mathbb{P}^m_k בקטגוריית היריעות פרויקטיביות. עובדה זאת מאפשרת להגדיר מכפלה של יריעות פרויקטיבית מבלי להיזדקק להגדרת מושג הכללי של יריעה האלגברית.

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

החיתוך של ירעת סגרה \Sigma^{1,1}_{\R} עם \mathbb A^3_k\subset \mathbb P^3_k, מהווה את הגרף של הפונקציה f(x,y)=xy


העתקת סגרה ממכפלה של שני ישרים פרויקטיבים נתונה על ידי

s_{1,1} : \begin{array}{rcl} \mathbb{P}^1_k \times \mathbb{P}^1_k & \longrightarrow & \mathbb{P}^3_k \\ \left( (x_0 : x_1 ) , ( y_0 : y_1 ) \right) & \longmapsto & \left( x_0 y_0 : x_0 y_1 : x_1 y_0 : x_1 y_1 \right) \end{array}

ויריעת סגרה היא

\Sigma^{1,1}_k = \mathcal{V}(z_{00} z_{11} - z_{01} z_{10})=\{(z_{00}:z_{01}:z_{10}:z_{11})\in \mathbb{P}^3|z_{00} z_{11} - z_{01} z_{10}=0\}.

החיתוך של יריעת סגרה עם הרחב האפיני \mathbb A^3_k\subset \mathbb P^3_k הוא למעשה הגרף של הפונקציה

(x,y)\mapsto xy.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]