שמות מספרים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
(הופנה מהדף שם המספר)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

למתן שמות למספרים משמשות שיטות אחדות, המאפשרות, באמצעות אבני יסוד מעטות יחסית, לתת שמות לכל המספרים, החל ממספרים מעוטי-ספרות המצויים בשימוש בחיי היום-יום, וכלה במספרים גדולים יותר, כמו מיליון ומיליארד, שגם בהם נעשה שימוש בהקשרים שונים.

אבני יסוד[עריכת קוד מקור | עריכה]

בעברית יש שם פרטי למספרים הטבעיים הקטנים מעשר, כלומר הספרות אפס עד תשע, למספרים 11 ("עשתי עשר"; מופיע כבר בתנ"ך‏[1]), ו-12 ("תריעשר"; במשלב גבוה, מקורו בשפה הארמית 'תרי' בארמית הוא שתיים, מופיע אף הוא בתנ"ך‏[2]), וכן לארבע חזקות של עשר: עשר (10), מאה (100), אלף (1,000) ורבבה (בלשון התורה, ההופכת לריבוא בספר עזרא[3] ; הרבבה שווה ל-10,000). משמות בסיסיים אלה אפשר להרכיב כל מספר. לדוגמה, שלושת-אלפים שש-מאות ושבע-עשרה שווה לשלושה אלפים, ועוד שש מאות, עשר ושבע; בבסיס עשר, מספר זה נכתב כ-3,617.

בספר במדבר נוצר בשיטה זו מספר גדול יחסית: "אֵלֶּה פְּקוּדֵי בְנֵי יִשְׂרָאֵל לְבֵית אֲבֹתָם כָּל פְּקוּדֵי הַמַּחֲנֹת לְצִבְאֹתָם שֵׁשׁ מֵאוֹת אֶלֶף וּשְׁלֹשֶׁת אֲלָפִים וַחֲמֵשׁ מֵאוֹת וַחֲמִשִּׁים"[4]. המספר שש מאות אלף קרוי גם שישים ריבוא.

שיטה דומה, להרכבת שמות המספרים ממספר מצומצם של אבני יסוד, מתקיימת גם בשפות אחרות, עם ניואנסים שונים. באנגלית, למשל, יש שם פרטי גם למספרים 11 (eleven) ו-12 (twelve). בצרפתית, בדומה לעברית ולאנגלית, שמות חלק מהעשרות (30, 40, 50, 60) נגזרים משמות המספרים הקטנים מעשר המקבילים. ההמשך מתפתח אחרת: למספר 70 שני שמות: septante, הנגזר מ-7, ו-soixante-dix, שפירושו "שישים ועשר"; גם למספר 80 שני שמות: huitante, הנגזר מ-8, ו-quatre-vingt, שפירושו "ארבע פעמים עשרים".

שם המספר[עריכת קוד מקור | עריכה]

שם המספר הוא תת-קבוצה של שמות עצם, הכוללת את המילים בשפה שמציינות מספר. ישנם שני סוגים עיקריים של שמות מספר:

  1. מספר מונה: שמות המשמשים לציון כמות של אובייקטים. המספר המונה יבוא לפני שם העצם אליו הוא מתייחס (חוץ מהמספר 1 שיבוא אחרי שם העצם). דוגמה: ארבע אימהות, שלושה אבות, אמא אחת ואבא אחד.
  2. מספר סודר: שמות המשמשים לציון מיקומו של אובייקט ביחס לאובייקטים אחרים. המספר הסודר יבוא לאחר שם העצם אליו הוא מתייחס. דוגמה: פרק ראשון, פרק שני, קבוצה ראשונה וקבוצה שנייה.

בניגוד לנטיית העברית לסמן מורפולוגית את צורות הנקבה (ילד-ילדה), בשם המספר המצב הפוך: דווקא צורות הזכר של המספר המונה (מ-3 עד 19) מסומנות מורפולוגית על ידי האות ה"א בסופן, ואילו השמות בנקבה אינם מסומנים. כך, נאמר בזכר: מעשה בחמישה בלונים; אבל בנקבה: מפיקי הסדרה צילמו חמש עונות.

דוברי עברית מודרנית מרבים לטעות בשימוש בשם המספר, תוך העדפה ברורה לשימוש גורף בצורות הנקבה הבלתי מסומנות מורפולוגית והפחות מסומננות (לדוגמה: שלוש כיסאות, במקום שלושה). בתגובה לכך, נוצרה בשפה תופעה של תיקון יתר לכיוון ההפוך: דוברים המנסים להישמע תקינים, ישתמשו בטעות בשם המספר בזכר לצד שמות בנקבה (לדוגמה: שישה דלתות, במקום שש).

ישנם כללים אחדים בשם המספר כאשר הוא מספר מונה:

  • ממספר 2 ומעלה, יבוא שם העצם ברבים: שלשה שקלים, כשמעל עשר - ניתן לומר גם ברבים וגם ביחיד ('אחד עשר שקל', או 'אחד עשר שקלים').
  • אחרי המילה "פי" יבוא שם המספר בזכר, למשל: פי שלושה.
  • מספר מעורב. דוגמה: 3.5 חדרים - שלושה חדרים וחצי.

שמות של מספרים גדולים[עריכת קוד מקור | עריכה]

כדי לתאר מספרים גדולים יותר בעברית, מכפילים אלף או ריבוא במספר דומה. כבר בתורה מופיע "וַיְבָרְכוּ אֶת-רִבְקָה, וַיֹּאמְרוּ לָהּ: אֲחֹתֵנוּ, אַתְּ הֲיִי לְאַלְפֵי רְבָבָה"[5]. ביטויים כגון זה שכיחים בלשון חז"ל, בדרך כלל בדרך הגזמה. כך למשל מופיע בפיוט 'נשמת כל חי', הנאמר בברכה הסוגרת את פסוקי דזמרה של שבת: "אלו פינו מלא שירה כים, ולשוננו רנה כהמון גליו... אין אנחנו מספיקים להודות [...] על אחת מאלף אלפי אלפים ורבי רבבות פעמים הטובות שעשית עם אבותינו ועמנו"[6]. הביטוי "ריבוא רבבות" שכיח בקבלה, וגם בספרות העברית של המאה ה-19 (שלום עליכם כותב על גיבור סיפורו שימל'ה, שהוא "גביר אדיר בעל ריבוא רבבות"). בתחילת המאה ה-20 כתב דוד פרישמן בסיפור "מצוה": "איש נחמד כמוהו לא תמצא גם בין אלף אלפי אלפים".

מאוחר יותר נקלטו מן השפות האירופיות שמות מיוחדים למספרים הגדולים: בראש וראשונה מיליון, השווה לאלף אלפים ונכתב 1,000,000, ומיליארד, השווה לאלף מיליונים, ונכתב 1,000,000,000.

בשמות למספרים גדולים עוד יותר, קיימות שתי סקאלות – השיטה האירופית הנקראת גם סקאלה ארוכה, והאמריקנית הנקראת גם סקאלה קצרה – ששתיהן מוצאן מצרפת במאות ה-15 וה-16.

בשיטה האמריקאית (הקצרה) המספר שאחרי מיליון, אלף מיליונים, בעברית מיליארד, נקרא ביליון, ואלף ביליונים נקראים טריליון. נראה שאת המילים "ביליון" ו"טריליון" טבע המתמטיקאי הצרפתי ניקולא שיקה (Nicolas Chuquet;‏ 14451488), אלא שהוא הקצה אותם עבור המספרים המובעים כ-1 שאחריו 12 או 18 אפסים, בהתאמה. בכך ייסד שיקה את הסקאלה הארוכה, שסדר המספרים בה הוא: מיליון, מיליארד, ביליון, ביליארד, טריליון, וכן הלאה (ההיגיון שבשיטה מוצג להלן).

מתמטיקאים אחרים בצרפת אימצו שמות אלה ממש עבור המספרים בני 9 ו-12 אפסים, וזו הפכה להיות השיטה הצרפתית, שאומצה גם מעבר לים, בארצות הברית. שיטתו של שיקה (הארוכה) הייתה נהוגה באנגליה ובגרמניה, עד שב-1948 אימצה אותה גם צרפת, והותירה את ארצות הברית כמנהיגת השיטה האמריקנית. עיקר המחלוקת היה, באופן טבעי, בפירוש המלה "ביליון" (תשעה אפסים באמריקה, שנים-עשר באירופה). ב-1974 הודיע ראש-ממשלת בריטניה, הרולד וילסון, כי בריטניה מקבלת את הפירוש האמריקני למלה "ביליון", ומדריך הסגנון של 'הטיימס' הלונדוני מיהר לאמץ החלטה זו.

השמות מבוססים על קידומות (prefix) לטיניות למספרים קטנים, בתוספת הסיומת "-ליון". כך, ביליון הוא בי-ליון ("בי-", כמו בינארי, מתייחס למספר 2), וטריליון מגיע מ"טרי-" (הקידומת ל-3). בהתאם לשמות הלטיניים למספרים הבאים, ממשיכה הסדרה הקצרה כך:

ביליון (2), טריליון (3), קוודריליון (4), קווינטיליון (5), סקסטיליון (6), ספטיליון (7), אוקטיליון (8), נוניליון (9), דציליון (10), וכן הלאה.

בשיטה האמריקנית ביליון שווה לאלף מיליונים, טריליון לאלף ביליונים, וכן הלאה. n-יליון שווה לאחד המוביל 3n+3 אפסים. בשיטה האירופית, ביליון הוא מיליון מיליונים, טריליון הוא מיליון ביליונים, וכן הלאה. ב-n-יליון יש 6n אפסים. לפי שיטה זו, n-יארד שווה לאלף n-יליונים; כך מיליארד הוא אלף מיליונים, ביליארד הוא אלף ביליונים, וכן הלאה. לדוגמה, בקוודריליון (n=4) יש 15 אפסים לפי השיטה האמריקנית, ו-24 לפי השיטה האירופית. בקוודריליארד יש 27 אפסים (לפי השיטה האירופית; המספר אינו קיים בשיטה האמריקנית).

בישראל ובעברית הייתה נהוגה פורמלית עד פברואר 2013 השיטה האירופית (על-פי מילון מונחי המתמטיקה תשמ"ה, וכן בספרים שקדמו לשנה זו), עד שהאקדמיה ללשון העברית אימצה את השיטה האמריקאית בהבדל אחד: המספר אלף מיליונים נקרא "מיליארד", ולא "ביליון". השינוי בא בעקבות התבססות המונח "טריליון" במשמעותו האמריקנית כמיליון מיליונים בעיתונות הכלכלית ובמקומות נוספים[7].

המונח "ביליון", ששימש בשיטה האירופית לתיאור מיליון מיליונים , מופיע בדרך כלל במשמעותו האמריקאית (אלף מיליונים) ורק לעתים רחוקות במשמעותו האירופית ולפיכך גרם לבלבול. השימוש בשמות למספרים שמעל אלף מיליארדים אינו שכיח.

השוואה בין השיטות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ערך שיטה אמריקאית ההיגיון בשיטה האמריקנית שיטה אירופית ההיגיון בשיטה האירופית
100 1 אחד
1,0001 - 1
אחד
\ 1,000,000^{0.0}
103 1,000 אלף
1,0001 + 0
אלף
\ 1,000,000^{0.5}
106 1,000,000 מיליון
1,0001 + 1
מיליון
\ 1,000,000^{{\mathbf 1}.0}
109 1,000,000,000 ביליון
1,0001 + 2
מיליארד
\ 1,000,000^{{\mathbf 1}.5}
1012 1,000,000,000,000 טריליון
1,0001 + 3
ביליון
\ 1,000,000^{{\mathbf 2}.0}
1015 1,000,000,000,000,000 קוודריליון
1,0001 + 4
ביליארד
\ 1,000,000^{{\mathbf 2}.5}
1018 1,000,000,000,000,000,000 קווינטיליון
1,0001 + 5
טריליון
\ 1,000,000^{{\mathbf 3}.0}
1021 1,000,000,000,000,000,000,000 סקסטיליון
1,0001 + 6
טריליארד
\ 1,000,000^{{\mathbf 3}.5}

גוגול, שהוא 10100, כלומר אחד המוביל 100 אפסים, שווה לעשרה דואוטריגיניטיליונים בשיטה האמריקאית, ולעשרה סקסדקיליארד בשיטה האירופאית. גוגולפלקס הוא 1 ולאחריו גוגול אפסים, או עשר בחזקת גוגול: 10^{\mbox{googol}} = 10^{10^{100}}.

קידומות מקובלות[עריכת קוד מקור | עריכה]

קילוגרם אחד שווה לאלף גרם. הגרם הוא משקלהּ‏‏[8] של קוביית מים שאורך צלעהּ סנטימטר, כלומר – מאית המטר. פצצה שעוצמתה שווה לזו של מיליון טון TNT היא פצצה בעוצמה של מגהטון TNT. בדומה לזה, נמצאות בשימוש תחיליות במערכת היחידות הבינלאומית המציינות כפל בחזקה מתאימה של עשר – חזקות חיוביות למספרים גדולים, וחזקות שליליות למספרים חיוביים הקטנים מ-1 (למשל: מיליגרם לציון אלפית הגרם).

ביחידות הקשורות למחשבים, שולטת השיטה הבינארית; בזכות העובדה ש \ 2^{10}=1024 קרוב לאלף, משתמשים גם בחזקות של שתיים לציון היחידות הגדולות. כך למשל, קילובייט הוא 1,024 בתים (ולא 1,000), מגהבייט הוא \ 2^{20} בתים (4.86% יותר ממיליון), וכן הלאה. אף על פי כן, מטעמים שיווקיים מעדיפים יצרני חומרה להשתמש בבסיס 10 ככל האפשר, שכן המספרים המתקבלים גבוהים ומרשימים יותר. כך למשל, דיסק קשיח שנמכר כדיסק של 250GB, הוא למעשה בנפח של 232GB המבוססים על הבסיס הבינארי, וזה אכן הנפח שיראה במחשב.

הכתיב המדעי של מספרים[עריכת קוד מקור | עריכה]

כדי להגדיל את הבהירות והקריאות, נמנעים בכתיבה מדעית משימוש בשמות של מספרים. מספר השווה לאחד עם אפסים מימינו נכתב כחזקת-10, בצורה \ 10^m. כך למשל מיליון הוא \ 10^6, ומיליארדית (אחד חלקי מיליארד) היא \ 10^{-9}. עבור מספרים כלליים יותר, נותנים את הספרה המשמעותית הראשונה וספרות נוספות לפי הצורך, כפול חזקה של עשר. כך, מרחקו של כדור הארץ מן השמש, מאה וחמישים מיליון קילומטרים, נכתב \ 1.5\cdot 10^{8} קילומטרים. בעבר, כאשר מכונת כתיבה הייתה אמצעי הכתיבה הנפוץ, היה מקובל סימון \ 1.5E8 לאותו מספר (כדי לחסוך את העלייה לשורה אחרת של תווי הדפוס). צורה זו עודנה נפוצה במחשבונים ובגיליונות אלקטרוניים (דוגמת אקסל).

במחשבים, נפוצה שיטת הנקודה הצפה לייצוג מספרים לא שלמים. שיטת הנקודה הצפה דומה לכתיבה המדעית, אלא שמחשבים משתמשים בדרך כלל במערכת בינארית ולכן בסיס החזקה הוא 2 במקום 10.

ביטויים בשפת היום-יום[עריכת קוד מקור | עריכה]

במספרים הגדולים (כגון מיליון ומיליארד) אנו משתמשים גם הרבה בשפת היום-יום בצורך לבטא מספר גדול משיעור, משהו גדול יותר מדי וכו', למשל: "יש באמבטיה הזאת איזה מיליון בועות סבון".

קיימות בשפות שונות מילים שמציינות מספר גדול שערכו לא מוגדר[9]. כך למשל המילה זיליון (Zillion) מייצגת באנגלית מספר גדול ללא משמעות מתמטית מוגדרת[10].

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ למשל בספר שמות, פרק כ"ו, פסוק ז' וכן מופעים רבים אחרים
  2. ^ בפרקים בארמית בספר דניאל, פרק ד', פסוק כ"ו ובספר עזרא, פרק ו', פסוק י"ז
  3. ^ ספר עזרא, פרק ב', פסוק ס"ד וכן בספר נחמיה פעמיים בפרק ז', פסוק ס"ו ובפרק ז', פסוק ע"א
  4. ^ ספר במדבר, פרק ב', פסוק ל"ב
  5. ^ ספר בראשית, פרק כ"ד, פסוק ס'
  6. ^ נשמת כל חי, הברכה הסוגרת את פסוקי דזמרה של שבת
  7. ^ למשל באתר מט"ח
  8. ^ ‏למעשה הגרם הוא יחידת מידת מסה, אך בחיי היום-יום משתמשים למעשה בגרם-כוח, שהיא יחידת משקל, ומקצרים את שמהּ‏
  9. ^ Indefinite and fictitious numbers בוויקיפדיה באנגלית.
  10. ^ Zillion באתר Wolfram Mathworld.
מספרים טבעיים
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55
60    70    80    90    100    200    300    400    500
1,000   2,000    10,000    100,000    600,000    1,000,000
אחרים
שמות מספרים | ...0.999 | 666 | 1089 | 1729 | קבוע קפרקר | גוגול | מספר גרהאם