שער הדמר

שער הדמר הינו שער קוונטי המממש טרנספורמציה על קיוביט יחיד, הקרויה על שם המתמטיקאי הצרפתי-יהודי ז'אק הדמר.

הגדרה

הטרנספורמציה ניתנת לרישום בתור המטריצה $H = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$.

דוגמאות

הפעלת שער הדמר על אוגר קוונטי של קיוביט בודד במצב $|x\rangle= {\alpha \choose \beta}$ יגרום לשינוי מצב האוגר ל

$H|x\rangle= \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}{\alpha \choose \beta}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\left(\alpha+\beta\right)|0\rangle + \left(\alpha-\beta\right)|1\rangle\right]$.

לפיכך

$H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$

$H|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle)$

הרחבה ל n קיוביטים

הפעלת השער על אוגר בעל n קיוביטים, שקולה להפעלת H על כל אחד מהקיוביטים בנפרד. נסמן ב $H^{\otimes n}$ את השער עבור n קיוביטים.

$H^{\otimes n}\equiv H\otimes H\otimes\ldots\otimes H$.

הפעלת השער על אוגר קוונטי במצב $|x\rangle$ כאשר $x\in\{0,1\}^n$ משנה את ערך האוגר לפי הנוסחא שלהלן

$H^{\otimes n}|x\rangle=\frac{1}{\sqrt{2^n}}\left(\sum_{i=0}^{2^n-1}(-1)^{x\cdot i}|i\rangle\right)$

כאשר $x\cdot i$ הינה המכפלה הסקאלרית של ייצוג x ו i כמחרוזות בינאריות. במילים אחרות,אם נייצג את x כמחרוזת באורך n, $x\equiv x_0,x_1,\ldots,x_{n-1}$ וכנ"ל לגבי i, אזי $x\cdot i= \oplus_{k=0}^{n-1}x_k\cdot i_k$