שפה (טופולוגיה)

הנקודה p נמצאת על השפה של הקבוצה V שכן בכל סביבה של p ישנן נקודות השייכות ל V ונקודות השייכות למשלים של V.

שפה של קבוצה היא מושג טופולוגי שניתן לתאר אותו באופן אינטואיטיבי כקו המפריד בין הפנים של הקבוצה ובין החוץ שלה. עבור קבוצות במישור, שפה של קבוצה היא קו המתאר (קונטור) החיצוני שלה. למשל: השפה של עיגול היא המעגל, השפה של כדור היא ספירה. השפה של קטע בישר הממשי היא קבוצת שתי נקודות הקצה שלו.

באופן יותר מדויק, שפה היא קבוצת הנקודות של קבוצה שאפשר להתקרב אליהן כרצוננו הן מתוך הקבוצה והן מתוך המשלים שלה.

הגדרה פורמלית

תהי A קבוצה במרחב טופולוגי X אזי השפה שלה $\ \partial A$ (הסימון ∂ הוא d מסולסלת) מוגדרת להיות:

$\ \partial A = \mbox{Cl}(A) - \mbox{Int}(A) = \overline{A} - A^{\circ}$

במילים: השפה של קבוצה A היא ההפרש בין הסגור של A והפנים של A.

מהגדרה זו, ומתכונות הסגור והפנים נובע ש

$\ \partial A = \left\{ x \in X \ | \ \forall V : x \in V \Rightarrow \ V \cap A \ne \emptyset \ \mbox{and} \ V \cap A^c \ne \emptyset \right\}$

מהגדרה זו ברורה לחלוטין הסימטריה של השפה ביחס ל A ומשלימתה. כלומר: השפה של קבוצה זהה לשפה של המשלים שלה. או בנוסחה: $\ \partial (A) = \partial (A^c)$.

דוגמאות

בישר הממשי עם הטופולוגיה הרגילה עליו:

• $\partial (0,1)=\partial [0,1) = \left\{ 0,1 \right\}$
• $\partial \mathbb{Z} = \mathbb{Z}$ כאשר $\mathbb{Z}$ היא קבוצת השלמים
• $\partial \mathbb{Q} = \mathbb{R}$ כאשר $\mathbb{Q}$ היא קבוצת הרציונליים ו- $\mathbb{R}$ היא קבוצת הממשיים.

השפה תלויה בטופולוגיה, ולאותה קבוצה יהיו שפות שונות בטופולוגיות שונות. לדוגמה השפה של הקטע [A=[0,1 בישר הממשי היא הנקודות {0,1}. לעומת זאת אם נסתכל על הקטע כחלק מהמישור: $A^+=\left\{(x,0) : x \in A \right\}$ אז $\ \partial A^+ = A^+$.