תהליך סטוכסטי

תהליך סטוכסטי, או תהליך אקראי הוא תהליך שהתפתחותו תלויה בגורמים מקריים, כלומר שממצב התחלתי נתון של המערכת — קיימים מספר מצבים שונים אליהם יכולה המערכת להגיע (כמובן, מצבים מסוימים יתקבלו בהסתברות גבוהה יותר ממצבים אחרים). זאת בניגוד לתהליך דטרמיניסטי בו כל מצב התחלתי מסוים יתפתח בהכרח למצב מסוים אחר.

תהליכים סטוכסטיים משמשים כמודלים למערכות מתחומים שונים. בין היתר שוק ההון והשתנות שערי חליפין בתחום הכלכלה, דיפוזיה, תנועה בראונית ומהלך אקראי בפיזיקה, שינויים בגדלי אוכלוסיות כמו גם תהליכים תוך-תאיים בביולוגיה ותגובות כימיות.

כלי מתמטי מרכזי המשמש לתיאור תהליכים כאלו הוא שרשראות מרקוב.

תאור מתמטי

תהליך סטוכסטי בדיד אינו אלא סדרה של משתנים מקריים, $\ X_1,X_2,\dots$. תהליך סטוכסטי רציף מתאים לכל פרמטר $\ t \geq 0$ משתנה $\ X_t$. באופן כללי יותר, אפשר להגדיר תהליך על כל קבוצת אינדקסים M, והערכים של כל $\ X_t$ יכולים להיות במרחב נורמי כלשהו.

תהליכים סטוכסטיים יכולים לקיים תכונות רבות. למשל, אם האינדקסים מסודרים, התהליך עולה אם לכל $\ t'>t$ מתקיים (בהסתברות 1) $\ X_{t'}\geq X_{t}$.

תהליך סטציונרי

תהליך סטוכסטי יקרא סטציונרי אם ההתפלגות המשותפת של כל רצף משני של משתנים אקראיים אינה משתנה אחרי הוספת קבוע מסוים לכל האינדקסים.

כלומר $\ \forall n,l,k\ \in\ \mathbb{N}$ , $\ \forall x_1,x_2,...,x_n\ \in X$

$Pr(X_k = x_1,X_{k+1} = x_2, . . . , X_{k+n} = x_n) = Pr(X_{k+l} = x_1,X_{k+1+l} = x_2, . . . , X_{k+n+l} = x_n)$

דוגמאות לשימוש במודלים סטוכסטיים

• מהלך אקראי ("מהלך שיכור") כמודל דיסקרטי לתהליכי דיפוזיה ותהליכים אחרים.
• משוואות דיפרנציאליות סטוכסטיות כמו משוואת לנז'וון המשמשת לתיאור תנועה בראונית. אחת התוצאות היסודיות בתחום זה היא הלמה של איטו.
• מודל תורים עושה שימוש בשרשראות מרקוב שהן תהליך סטוכסטי למידול מספר האנשים הממתינים לשירות בתור.

ראו גם

• תהליך פואסון
• מרטינגל

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.