אקסיומות פון נוימן-מורגנשטרן

בכלכלה ובתורת המשחקים, תורת התועלת של פון נוימן ומורגנשטרן מראה שאם יחס ההעדפות של שחקן הינו שלם וטרנזיטיבי, ואם יחס ההעדפות מקיים ארבע אקסיומות, אז ניתן לתאר את יחס ההעדפות בעזרת פונקציית תועלת לינארית.

התורה פותחה בשנת 1944 על ידי ג'ון פון נוימן ואוסקר מורגנשטרן, כפירוש מחדש של תורתו של דניאל ברנולי משנת 1738.

אקסיומות

הנחות יסוד:

• קיימת קבוצה סופית של פרסים $A =\{A_1,\cdots,A_n\}$ בה יכול השחקן לזכות.
• לשחקן יש יחס ההעדפות על הגרלות מורכבות.

הגרלה $\!L$, הגרלה בה נקבל תוצאה $\!A_i$ בהסתברות $\! p_i$. נסמן: $L=[p_1(A_1),p_2(A_2),\cdots,p_n(A_n)]$.
כאשר נגדיר הגרלה מורכבת באופן הבא:

$\!\overline{L} = [q_1(L_1),...,q_{j-1}(L_{j-1}),q_j(M),q_{j+1}(L_{j+1}),...,q_J(L_J)]$ הינה הגרלה שבה: $\! 1 \leq \forall i \leq j$ מתקיים ש $\! L_i$ הגרלה, $\! \sum q_i=1 , q_i \geq 0$

תחת ההנחות הללו, ארבע האקסיומות בתועלת פון ניומן-מורגנשטרן הן רציפות, מונוטוניות, פישוט והצבה.

רציפות

עבור שחקן $\!i$ מתקיים : לכל שלושה פרסים $\! A\preceq_i B\preceq_i C$ קיים $\!0 \leq \theta_i \leq 1$ כך ש: $\! B\approx_i[\theta_i(A),(1-\theta_i)C]$

כלומר,עבור יחס ההעדפות שלעיל לגבי שלושה פרסים $\! A,B,C$ ,קיים מספר $\!0 \leq \theta_i \leq 1$ עבורו ניתן ליצור הגרלה חדשה בה השחקן יזכה בפרס $\! C$ בסיכוי $\!1-\theta_i$ ובפרס $\! A$ בסיכוי $\!\theta_i$, והשחקן יוותר אדיש בין הגרלה זו לבין זכייה בפרס $\! B$.

מונוטוניות

יהיו $\! 0 \leq \alpha,\beta \leq 1$ ונניח כי $\! A\succ_i B$ אזי: $\![\alpha(A),(1-\alpha)(B)]\succeq_i[\beta(A),(1-\beta)(B)]$ אם ורק אם $\!\alpha\geq\beta$

כלומר,אם שחקן מעדיף את פרס $\! A$ על פני פרס $\! B$, אזי הוא יעדיף כל הגרלה הנותנת לו את פרס $\! A$ בסיכוי $\! \alpha$ , על פני הגרלה הנותנת לו את $\! A$ בסיכוי נמוך יותר.

אקסיומת הפישוט

לכל $\!j=1,2...,J$ תהי $\!L_j$ ההגרלה הפשוטה:

$\!L_j=[p^j_1(A_1),p^j_2(A_2),...,p^j_K(A_K)]$

ותהי ההגרלה המורכבת: $\!\overline{L}=[q_1(L_1),q_2(L_2),...,q_j(L_j)]$

לכל $\!k=1...K$

נגדיר:

$\!r_k=[(q_1)p^1_k+(q_2)p^2_k+...+(q_j)p^J_k]$

(כלומר,בהסתברות $\!q_i$ נזכה בתוצאה $\!L_i$ , ואז בסיכוי $\!p^i_k$ נזכה בפרס $\!A_k$. כאשר נסכום לכל $\!i$ נקבל את ההסתברות ל $\!A_k$ ) כך נוצרת ההגרלה הפשוטה:

$\!L=[r_1(A_1),r_2(A_2),...,r_K(A_K)]$

אזי:

$\!L\approx_i\overline{L}$

כלומר, בהינתן הגרלה המגדירה את ההסתברויות לזכות באוסף פרסים, כל הגרלה שתגדיר את אותן הסתברויות, גם אם הינה בעלת יותר או פחות שלבים מההגרלה המקורית, שקולה להגרלה המקורית מבחינת יחס ההעדפות של השחקן.

הצבה

תהי $\!\overline{L}=[q_1(L_1),q_2(L_2),...,q_j(L_j)]$ הגרלה מורכבת ו $\!M$ הגרלה פשוטה.

אם $\!L_j\approx_i M$ אזי: $\!\overline{L}\approx_i [q_1(L_1),...,q_{j-1}(L_{j-1}),q_j(M),q_{j+1}(L_{j+1}),...,q_J(L_J)]$

האקסיומה דורשת כי אם בתוך הגרלה מורכבת נחליף הגרלה פשוטה בהגרלה השקולה לה, אזי השחקן ישאר אדיש בין ההגרלה המורכבת הראשונית לבין זו שבה החליפו את ההגרלות הפשוטות.

לקריאה נוספת

• שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, ISBN 9654932946

ראו גם

• משפט פון נוימן-מורגנשטרן
• מונחים בתורת המשחקים