אקסיומות פון נוימן-מורגנשטרן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בכלכלה ובתורת המשחקים, תורת התועלת של פון נוימן ומורגנשטרן מראה שאם יחס ההעדפות של שחקן הינו שלם וטרנזיטיבי, ואם יחס ההעדפות מקיים ארבע אקסיומות, אז ניתן לתאר את יחס ההעדפות בעזרת פונקציית תועלת לינארית.

התורה פותחה בשנת 1944 על ידי ג'ון פון נוימן ואוסקר מורגנשטרן, כפירוש מחדש של תורתו של דניאל ברנולי משנת 1738.

אקסיומות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הנחות יסוד:

  • קיימת קבוצה סופית של פרסים A =\{A_1,\cdots,A_n\} בה יכול השחקן לזכות.
  • לשחקן יש יחס ההעדפות על הגרלות מורכבות.

הגרלה \!L, הגרלה בה נקבל תוצאה \!A_i בהסתברות \! p_i. נסמן: L=[p_1(A_1),p_2(A_2),\cdots,p_n(A_n)].
כאשר נגדיר הגרלה מורכבת באופן הבא:

\!\overline{L} = [q_1(L_1),...,q_{j-1}(L_{j-1}),q_j(M),q_{j+1}(L_{j+1}),...,q_J(L_J)] הינה הגרלה שבה: \! 1 \leq \forall i \leq j מתקיים ש \! L_i הגרלה, \! \sum q_i=1   ,   q_i \geq 0

תחת ההנחות הללו, ארבע האקסיומות בתועלת פון ניומן-מורגנשטרן הן רציפות, מונוטוניות, פישוט והצבה.

רציפות[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור שחקן \!i מתקיים : לכל שלושה פרסים \! A\preceq_i B\preceq_i C קיים \!0 \leq \theta_i \leq 1 כך ש: \! B\approx_i[\theta_i(A),(1-\theta_i)C]

כלומר,עבור יחס ההעדפות שלעיל לגבי שלושה פרסים \! A,B,C ,קיים מספר \!0 \leq \theta_i \leq 1 עבורו ניתן ליצור הגרלה חדשה בה השחקן יזכה בפרס \! C בסיכוי \!1-\theta_i ובפרס \! A בסיכוי \!\theta_i, והשחקן יוותר אדיש בין הגרלה זו לבין זכייה בפרס \! B.

מונוטוניות[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהיו \! 0 \leq \alpha,\beta \leq 1 ונניח כי \! A\succ_i B אזי: \![\alpha(A),(1-\alpha)(B)]\succeq_i[\beta(A),(1-\beta)(B)] אם ורק אם \!\alpha\geq\beta

כלומר,אם שחקן מעדיף את פרס \! A על פני פרס \! B, אזי הוא יעדיף כל הגרלה הנותנת לו את פרס \! A בסיכוי \! \alpha , על פני הגרלה הנותנת לו את \! A בסיכוי נמוך יותר.

אקסיומת הפישוט[עריכת קוד מקור | עריכה]

לכל \!j=1,2...,J תהי \!L_j ההגרלה הפשוטה:

\!L_j=[p^j_1(A_1),p^j_2(A_2),...,p^j_K(A_K)]

ותהי ההגרלה המורכבת: \!\overline{L}=[q_1(L_1),q_2(L_2),...,q_j(L_j)]

לכל \!k=1...K

נגדיר:

\!r_k=[(q_1)p^1_k+(q_2)p^2_k+...+(q_j)p^J_k]

(כלומר,בהסתברות \!q_i נזכה בתוצאה \!L_i , ואז בסיכוי \!p^i_k נזכה בפרס \!A_k. כאשר נסכום לכל \!i נקבל את ההסתברות ל \!A_k ) כך נוצרת ההגרלה הפשוטה:

\!L=[r_1(A_1),r_2(A_2),...,r_K(A_K)]

אזי:

\!L\approx_i\overline{L}

כלומר, בהינתן הגרלה המגדירה את ההסתברויות לזכות באוסף פרסים, כל הגרלה שתגדיר את אותן הסתברויות, גם אם הינה בעלת יותר או פחות שלבים מההגרלה המקורית, שקולה להגרלה המקורית מבחינת יחס ההעדפות של השחקן.

הצבה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי \!\overline{L}=[q_1(L_1),q_2(L_2),...,q_j(L_j)] הגרלה מורכבת ו \!M הגרלה פשוטה.

אם \!L_j\approx_i M אזי: \!\overline{L}\approx_i [q_1(L_1),...,q_{j-1}(L_{j-1}),q_j(M),q_{j+1}(L_{j+1}),...,q_J(L_J)]

האקסיומה דורשת כי אם בתוך הגרלה מורכבת נחליף הגרלה פשוטה בהגרלה השקולה לה, אזי השחקן ישאר אדיש בין ההגרלה המורכבת הראשונית לבין זו שבה החליפו את ההגרלות הפשוטות.

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]