גל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

ערך זה עוסק בגל כהתפשטות של הפרעה במרחב. אם התכוונתם למשמעות אחרת, ראו גל (פירושונים).

תיאור סכמטי של תנודת מיתר מתוח. נשים לב כי אם בכל נקודת זמן המיתר נראה כמו סינוס: $\ y=\sin(k x)$ . בנוסף, בכל נקודה לאורך הציר האופקי (אחת לדוגמה מסומנת על ידי הקו האנכי) נראה כי גובה המיתר בזמן משתנה גם כמו סינוס: $\ y=\sin(\omega t)$ . התיאור הכולל של גובה המיתר נתון על ידי $\ y(x,t)=\sin(kx-\omega t)$

גל הוא התפשטות של הפרעה במרחב. פרט לגלים אלקטרומגנטיים, שיכולים להתפשט גם בריק, גלים מתפשטים בתווך מסוים. בדרך כלל, המונח "גל" מתאר הפרעה מחזורית (בזמן). הפרעה שאיננה מחזורית בזמן נקראת Pulse .

ישנם שני סוגי גלים: גל אורכי, שהוא גל המורכב מהפרעה מתקדמת שכיוונה ככיוון התפשטות הגל. לעומתו, גל רוחבי, הוא גל שבו ההפרעה המתקדמת מאונכת לכיוון התקדמות הגל. גלי מים, לדוגמה, הם גלים רוחביים. אם נדמיין גל מים הנע בבריכה, נבחין כי כיוון תנועת המים הוא אנכי, בעוד שתנועת הגל עצמו (ההפרעה) היא אופקית. גם גלי אור הם גלים רוחביים. גלי קול, לעומת זאת, הם גלים אורכיים - הם מורכבים מתנודות של לחץ אוויר, כאשר השינוי בלחץ (הגרדיאנט) מקביל לכיוון התקדמות הגל.

לגלים תכונות שונות מאוד משל חלקיקים, והם מראים תופעות מיוחדות: התאבכות, עקיפה ושבירה, לדוגמה. במשך שנים רבות עסק המדע בשאלה האם אור הוא גל או חלקיק, אך כיום הבעיה נפתרה בעזרת מכניקת הקוונטים. על פי תורה זו, לכל חלקיק יש גם אופי גלי, ולכן תופעות גליות משחקת תפקיד מכריע בתיאור העולם הקוונטי.

[עריכה] מאפייני הגל

קיימים מספר מאפיינים או פרמטרים פיזיקליים המגדירים את הגל ואת התנהגותו.

משרעת - או אמפליטודה בלעז, היא גודל ההפרעה המקסימלי, ומסומנת באיור ב-y.
אורך גל - המרחק בין שתי פסגות סמוכות של הגל. מסומן לרוב באות $\ \lambda$
תדירות - מספר המחזורים ליחידת זמן, מסומנת לרוב באות f או באות $\ \nu$ .
תדירות זוויתית - מאחר שבדרך כלל מתארים גלים על ידי פונקציות טריגונומטריות, נהוג לנרמל את התדירות, כך שהארגומנט יהיה כפולה של $\ 2\pi$ . לכן $\ \omega = 2 \pi f$
מספר הגל (וקטור הגל) - מספר הגל, המסומן לרוב ב $\ k$ , הוא המקביל המרחבי לתדירות הזוויתית. כשם שהתדירות הזוויתית מתקשרת לזמן המחזור על ידי $\ \omega=\frac{2\pi}{T}$ , מספר הגל מתקשר לאורך הגל על ידי $\ k=\frac{2\pi}{\lambda}$ . בגלים במרחב רב ממדי, מוגדר וקטור גל, המציין את כיוון התקדמות ההפרעה, והנורמה שלו נתונה על ידי $\ ||\vec k|| = \frac{2 \pi }{\lambda}$ .
מהירות פאזה - מהירות ההתפשטות של חזית הגל. מסומנת ב-v ומוגדרת כ $\ v_{\phi} = \omega / k$ .
מהירות חבורה - מהירות התקדמות האנרגיה (ריבוע אמפליטודת המעטפת) בחבורת גלים, מוגדרת על ידי יחס נפיצה כ $\ v_g = \frac{d \omega}{dk}$ .

כאשר $\ v =\ v_g =\ v_{\phi}$ , כמו בגלי סינוס למשל, הקשר בין שלושת הגדלים האחרונים ניתן באמצעות משוואת הגלים - $v=\lambda\cdot f$ .

מאפיין נוסף לקבוצת גלים הוא הפרש המופע (פאזה) או זווית המופע. גודל זה, המסומן לרוב ב- $\ \phi$ , מתאר את ההפרש בין הארגומנטים של שני גלים.

קיטוב - קיטוב הוא תופעה המתרחשת בגלי רוחב. קיטוב הגל הוא הכיוון ההפרעה (שהוא, בגל רוחבי, ניצב לכיוון התקדמות הגל). לרוב, משתמשים במושג קיטוב בהקשר של גלים אלקטרומגנטיים. קיטוב עשוי להיות לינארי, מעגלי (כיוון המשרעת מסתובב באופן מחזורי), אליפטי (המקרה הכללי יותר) או אקראי (לא מקוטב).

[עריכה] משוואת הגלים

ערך מורחב – משוואת הגלים

גל אידאלי מקיים את משוואת הגלים:

$\ \frac{\partial^2 }{\partial t^2} \psi(t,\vec{r}) = v^2 \ \nabla ^2 \psi(t,\vec{r})$

זוהי משוואה דיפרנציאלית חלקית, שבה:

הפונקציה $\ \psi (t,\vec{r})$ היא פונקציית הגל, המתארת את משרעת הגל בכל מקום ובכל נקודה בזמן.
v היא מהירות התקדמות ההפרעה. היא נקבעת על פי התכונות של התווך הפיזיקלי.
אופרטורי גזירה: לפלסיאן ונגזרת שנייה לפי הזמן.

הפתרון הבסיסי של משוואת הגלים שנקרא "גל מישורי" הוא

$\ \psi_{\vec{k}} (t,\vec{r}) = A_{\vec{k}} e^{i \left( \omega t - \vec {k} \cdot \vec{r} \right)} = a_{\vec{k}} \sin{\left( \omega t - \vec{k} \cdot \vec{r} \right)} + b_{\vec{k}} \cos{\left( \omega t - \vec{k} \cdot \vec{r} \right)}$

פתרון זה ניתן להצגה גם כצירוף של סינוסים וקוסינוסים. בנושא זה כדאי לראות את הערך הדן באוסצילטור הרמוני.

כאשר:

הגודל $\ \omega = 2 \pi f$ הוא התדירות הזוויתית של הגל.
הווקטור $\vec{k}$ הוא וקטור הגל, כיוונו הוא כיוון ההתקדמות של הגל וגודלו עומד ביחס הפוך לאורך הגל, $|\vec{k}| = k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ .
הקשר בין התדירות הזוויתית לאורך הגל במקרה זה הוא $\omega = c k \!\,$ . במקרה הכללי (כמו בתווך דיאלקטרי, שבו מהירות התקדמות הגל. c, עשויה להיות תלויה באורך הגל) הקשר הוא לא-לינארי והפונקציה $\ \omega (k)$ נקראת יחס נפיצה.
הפתרון הכללי ביותר של משוואת הגלים הוא סופרפוזיציה של גלים מישוריים עם יחס הנפיצה $\omega = c k \!\,$ , כאשר האמפליטודה $\ A_{\vec{k}}$ נקבעת על פי תנאי השפה של הבעיה. אם אין תנאי שפה שמגבילים את הערכים שווקטור הגל k יכול לקבל, אזי הפתרון הכללי נתון על ידי טרנספורם פורייה:

$\ \psi(t,\vec{r}) = \frac{1}{(2 \pi)^3} \int_{ \vec{k} \in \mathbb{R}^3}{ \psi_{\vec{k}}(t,\vec{r}) \ d^3 k}$

עבור גלים לא אידאליים יש להוסיף למשוואת הגלים תיקונים המייצגים חיכוך, כוחות מאלצים ועוד.

[עריכה] עקרונות פיזיקליים

ממשוואת הגלים ניתן להסיק עקרונות פיזיקליים חשובים הנוגעים לטבעם של גלים ולטיב תנועתם. עקרונות אלה אושרו בניסויים וחלקם אף הוסקו באופן אמפירי.

עקרון פרמה - עיקרון הזמן המינימלי. קובע כי בתנועתו בין שתי נקודות, ינוע הגל במסלול בו זמן התנועה הוא הקצר ביותר.
חוק הויגנס - קובע כי ניתן להתייחס לכל נקודה על גבי חזית הגל כאל מקור של גל נקודתי.

מעקרונות אלו נובעות תכונות ייחודיות המאפיינות תופעות גליות.

[עריכה] תכונות של גלים

קיימות מספר צורות התנהגות פיזיקליות אופייניות לגלים. קיומן של תכונות אלו מאפשר לקבוע האם התופעה הנמדדת הינה גל. רוב התכונות נובעות מכך שהגל, שהוא פתרון של משוואה דיפרנציאלית חלקית לינארית, הוא לינארי, ומחוק הויגנס.

[עריכה] החזרה

השתקפות של דג במים כתוצאה מהחזרת קרני אור

ערך מורחב – החזרה (גלים)

החזרה (Reflection) היא כינוי לתופעה שבה חזית גל הנעה בתווך מסוים מגיעה לנקודת מפגש עם תווך אחר ובעקבות כך משנה את כיוונה לכיוון אחר בתווך ממנו הגיעה. החזרה של גל יכולה להיות באופן מסודר (כגון החזרת אור ממראה) או לא מסודר (כגון החזרת אור מקיר), החזרה קיימת בכל פעם שחזית גל מתווך אחד מגיעה לתווך אחר. על פי חוק סנל, אם זווית השבירה היא מעל 90 מעלות ישנה החזרה מלאה (כל עוצמת הגל מוחזרת). במקרים אחרים ההחזרה היא חלקית.

[עריכה] שבירה

ערך מורחב – שבירה

שבירה (Refraction) היא תופעה בה גל העובר מתווך בעל מקדם שבירה אחד עובר לתווך בעל גורם שבירה שונה ומשנה את כיוונו. זווית השבירה נקבעת על פי חוק סנל.

תופעות שבירה והחזרה מתוארות ומאופיינות באופן פיזיקלי על ידי תכונה של התווך, הנקראת עכבה (Impedance). העכבה היא היחס בין הכוח הפועל על האמפליטודה למהירות השינוי בה. עבור גלים אלקטרומגנטיים, העכבה היא הכללה של מושג ההתנגדות החשמלית.

[עריכה] התאבכות

ערך מורחב – התאבכות

התאבכות היא אולי התופעה המזוהה ביותר עם גלים.

תבנית התאבכות של שני גלים כדוריים ממקורות נקודתיים כאשר אורך הגל גדל ככל שיורדים בתמונות והמרחק בין המקורות גדל ככל שמתקדמים ימינה בתמונות.

כאשר עוברים מספר גלים דרך אותה נקודה במרחב, האמפליטודה של הגל באותה נקודה תהיה סכום וקטורי (כלומר: כולל התחשבות בכיוון) של האמפליטודות של כל הגלים באותה נקודה. עקרון ההתאבכות הוא מקרה פרטי של סופרפוזיציה - רכיבים לינאריים המתחברים ביניהם.

באיור לעיל מתוארת התאבכות של שני גלים.

התאבכות בונה (באיור השמאלי) מתרחשת כאשר כל הגלים מגיעים בשיא ומחזקים זה את זה.
התאבכות הורסת (באיור הימני) מתרחשת כאשר סכום האמפליטודות שווה לאפס. עבור שני גלים, כאשר שני גלים בעלי אותה אמפליטודה מגיעים במופע הפוך (הפרש פאזה של חצי מחזור) מתרחשת התאבכות הורסת שכן גל אחד מגיע בשיא והשני בשפל (שיא שלילי).

[עריכה] עקיפה

ערך מורחב – עקיפה

עקיפה (Diffraction) היא תופעה שבה הגל "עוקף" מכשול ונובעת מעקרון הויגנס.

כאשר בין מקור גלים לגלאי מבדיל עצם כלשהו, הגלאי יקלוט חלק מהגל שנפלט מהמקור למרות החסימה בדרך, מכיוון שהגל "עוקף" את המיכשול. תופעה זו מתבססת על עקרון הויגנס (ראו נקודת פואסון).

[עריכה] נפיצה

ערך מורחב – נפיצה

נפיצה היא תופעה שבה חבורת גלים מתפרקת למרכיביה השונים (גלים בעל תדירות אחת ואורך גל יחיד).

כאשר חבורת גלים המורכבת מאורכי גל שונים עוברת לתווך בעל מקדם שבירה שונה מהתווך ממנו באה (ותלוי באורך הגל), זווית השבירה של כל אורך גל היא שונה. תופעה זו נקראת נפיצה. תופעה נפוצה הנובעת מכך היא הקשת בענן.

התקן שגורם לנפיצה הוא פריזמה (מנסרה), בייחוד פריזמה משולשת. אייזק ניוטון ידוע בניסוייו במנסרות ובכך שהצליח ליצור קשת באופן מלאכותי.

[עריכה] דוגמאות לגלים

תנודות של מיתר מתוח - כאשר פורטים על גיטרה, המיתר מתנודד ונוצר גל עומד, והמשוואה המתארת את תנודת המיתר היא משוואת הגלים האידאלית (בהתאם לתנאי השפה של קצוות קשורים).
גלי מים - גל רוחב הנוצר במים כתוצאה ממגע עצם בהם.
גלי קול - הקול הוא גל אורך של הפרשי לחצים המתפשט בתוך חומר. מהירותו של הקול מושפעת מצפיפות התווך.
גל אלקטרומגנטי - גל רוחב הנובע משדה חשמלי ושדה אלקטרומגנטי המשתנים בזמן. גל זה יכול להתפשט גם בריק ומהירותו מושפעת מהחומר בו הוא עובר. גלים אלקטרומגנטיים באורכי גל שונים מכונים בשמות כגון: גלי אור, גלי רדיו ועוד.