תורת ההפרעות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תורת ההפרעות היא שיטה מתמטית לפתרון מקורב של בעיות. בפיזיקה משתמשים בה בהרחבה, בגלל מיעוט הבעיות שניתן לפתור בצורה מדויקת. שיטה זו משמשת כאשר ידוע פתרון מדויק למשוואות, ורוצים למצוא פתרון אחר, קרוב אליו. הפרעה היא הסטייה מהפתרון המדויק. במובן מסוים השיטה הזו הינה הכללה של פיתוח לטור טיילור.

דוגמה פשוטה היא תיאור מצבם של פני המים בשלולית: המים בשלולית יכולים להיות במצב נייח, בו פני המים אחידים. זהו פתרון מדויק למשוואות המתארות את מצבם. אך פני המים יכולים גם לנוע, אם נוצרים בהם גלים. אם הגלים קטנים יחסית, אפשר להתייחס אליהם כהפרעות, כלומר סטיות קטנות מהמצב בו פני המים אחידים. בצורה כזו קל יחסית לפתור כיצד יתקדמו הגלים במים, ולקבל קירוב טוב (כלומר, תיאור מדויק יחסית) למצבם של פני המים.

הרעיון העומד מאחורי תורת ההפרעות הוא שאף על פי שישנם בעיות מתמטיות שאי אפשר לפותרם במדויק, בכל זאת ניתן למצוא מידע חשוב אודות פתרון הבעיה על ידי שימוש בהנחות מפשטות, ואז לחקור סטייה מהנחות אלו על ידי חקירת הפרעה קטנה בפתרון.

דוגמה מתמטית לשימוש בתורת ההפרעות[עריכת קוד מקור | עריכה]

נקח כדוגמה את המשוואה הבאה:

 \frac{\partial f}{\partial x} + f -\varepsilon f^2 = 0,  f(0) = 2
כאשר הפרמטר  \varepsilon מייצג מספר אל-ממדי כלשהו, כגון מספר ריינולדס, אוילר, או פרוד.

במקרה הקיצון,  \varepsilon = 0 , המשוואה מתנוונת למשוואה דיפרנציאלית לינארית מסדר ראשון, אותה ניתן לפתור בפשטות.

 \frac{\partial f}{\partial x} + f = 0,  f(0) = 2
 f = Ce^{-x} = 2e^{-x}

זהו הפתרון של בעיית הקיצון. ברוב המקרים פתרון של בעיות קיצון אינם פיזיקליים. לדוגמה, אם בדוגמה זו  \varepsilon מייצג את מספר ריינולדס, הוא יכול להיות מספר מאוד קטן אך אינו יכול להשתוות לאפס. היות שכך, יש צורך לחקור את המקרה בו  \varepsilon קטן מאוד אך אינו אפס. נגדיר, אם כן:

 f = f_0 + \varepsilon f_1 + {\varepsilon}^2 f_2

תנאי השפה המתאים הוא:

 f(0) = 2\cdot \varepsilon^0 + 0\cdot \varepsilon^1 + 0\cdot {\varepsilon}^2

הצבת הביטוי עבור  f במשוואה לעיל נותן:

 f = \frac{\partial f_0}{\partial x} + \varepsilon \frac{\partial f_1}{\partial x} + \varepsilon^2 \frac{\partial f_2}{\partial x} +  f_0 + \varepsilon f_1 +\varepsilon^2 f_2 - \varepsilon (f_0 + \varepsilon f_1 +\varepsilon^2 f_2 )^2 = 0

ניתן עתה להפריד בין הסדרים השונים של המשוואה כדהלן:

 O(1): \frac{\partial f_0}{\partial x} + f_0 = 0,  f_0(0) = 2

סדר זה נקרא הסדר המוביל, והוא מדויק מסדר ראשון. חיסורו מהמשוואה לעיל ייתן את הסדרים הבאים, שהם סדר  \varepsilon וסדר  \varepsilon^2 , בהתאמה.

 O(\varepsilon): \frac{\partial f_0}{\partial x} + f_1 - {f_0}^2 = 0, f_1(0) = 0
 O({\varepsilon}^2): \frac{\partial f_0}{\partial x} + f_2 - f_{0}f_1 = 0, f_2(0) = 0

ניתן לפתור בהדרגה את המערכת לעיל, שהיא בעצם מערכת משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר ראשון. פתרון המשוואה הראשונה, כאמור:  f_0 = 2e^{-x} + O(\varepsilon) כלומר ששגיאת הקיטוע היא מסדר  \varepsilon . הצבה של פתרון זה במשוואה מסדר  \varepsilon יתן  f_1 = 4e^{-x} - 4e^{-2x}  + O(\varepsilon^2) , וכן הלאה, כאשר בכל פעם ניתן לקבל פתרון מדויק יותר.

דוגמה פיזיקלית - יציבות מודית בבעיית חום[עריכת קוד מקור | עריכה]

בעזרת תורת ההפרעות ניתן לבצע אנליזה לבעיית חום חד ממדית פשוטה בתחום  0<x<l :

 \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = c \frac{\partial T}{\partial t}

כאשר T מייצג את הטמפרטורה ו-c מייצג קבוע דיפוזיה של חום. תנאי השפה וההתחלה הם:

 f(x=0,t)=f(x=l,t)=f(0<x<l,t=0)=1

במקרה זה, הפתרון של המשוואה פשוט ביותר:  f=1 , כלומר שהטמפרטורה נותרת קבועה בכל המישור ואין שינוי בטמפרטורה עם הזמן. עתה ניתן לחקור מה יקרה אם תתווסף הפרעה קטנה לבעיה. ההפרעה תהא מהצורה  T' = sin(\pi \frac{nx}{l})e^{-\sigma t} והפתרון של הבעיה ללא ההפרעה יסומן ב- T_0 = 1 .  \sigma מייצג את קצב הדעיכה של ההפרעה. ניתן להגדיר כי הפתרון יהיה מהצורה:

 T =T_0 +\varepsilon T' = T_0+\varepsilon sin(\pi \frac{nx}{l})e^{-\sigma t}

כאשר  \varepsilon הוא מספר קטן מאוד מאחד, על מנת לשמור על הפרעה קטנה. ניתן להציב פתרון זה בבעיית החום ולקבל:

\frac{\partial^2 T_0}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 T'}{\partial x^2}  = c \frac{\partial T_0}{\partial t} + c \frac{\partial T'}{\partial t}

מכיוון ש- T_0 קבוע, הנגזרות שלו מתאפסות ונותר רק:

 -\frac{\varepsilon n^2 \pi^2}{l^2} sin(\pi \frac{nx}{l})e^{-\sigma t} = \varepsilon c(-\sigma) sin(\pi \frac{nx}{l})e^{-\sigma t}

ועל ידי צמצום וחלוקה ב-c ניתן לחלץ את פרמטר הדעיכה:

 \sigma =-\frac{\varepsilon n^2 \pi^2}{cl^2}

למעשה ניתן להסיק מסוג ההפרעה שנכנס את זמן הדעיכה האופייני שלה, כתלות בפרמטרים של הבעיה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

P physics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא פיזיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.