תורת ההפרעות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Gnome-colors-emblem-development-2.svg הערך נמצא בשלבי עבודה: כדי למנוע התנגשויות עריכה ועבודה כפולה אתם מתבקשים שלא לערוך ערך זה בטרם תוסר הודעה זו, אלא אם כן תיאמתם זאת עם מניחי התבנית.
אם הדף לא נערך במשך שבוע ניתן להסיר את התבנית ולערוך אותו, אך רצוי לתת קודם תזכורת בדף שיחת הכותבים.

תורת ההפרעות היא שיטה מתמטית לפתרון מקורב של בעיות. בפיזיקה משתמשים בה בהרחבה, בגלל מיעוט הבעיות שניתן לפתור בצורה מדויקת. שיטה זו משמשת כאשר ידוע פתרון מדויק למשוואות, ורוצים למצוא פתרון אחר, קרוב אליו. הפרעה היא הסטייה מהפתרון המדויק. במובן מסוים השיטה הזו הינה הכללה של פיתוח לטור טיילור.

דוגמה פשוטה היא תיאור מצבם של פני המים בשלולית: המים בשלולית יכולים להיות במצב נייח, בו פני המים אחידים. זהו פתרון מדויק למשוואות המתארות את מצבם. אך פני המים יכולים גם לנוע, אם נוצרים בהם גלים. אם הגלים קטנים יחסית, אפשר להתייחס אליהם כהפרעות, כלומר סטיות קטנות מהמצב בו פני המים אחידים. בצורה כזו קל יחסית לפתור כיצד יתקדמו הגלים במים, ולקבל קירוב טוב (כלומר, תיאור מדויק יחסית) למצבם של פני המים.

הרעיון העומד מאחורי תורת ההפרעות הוא שאף על פי שישנם בעיות מתמטיות שאי אפשר לפותרם במדויק, בכל זאת ניתן למצוא מידע חשוב אודות פתרון הבעייה על ידי שימוש בהנחות מפשטות, ואז לחקור סטייה מהנחות אלו על ידי חקירת הפרעה קטנה בפתרון.

דוגמא מתמטית לשימוש בתורת ההפרעות[עריכת קוד מקור | עריכה]

נקח כדוגמא את המשוואה הבאה:

 \frac{\partial f}{\partial x} + f -\varepsilon f^2 = 0,  f(0) = 2
כאשר הפרמטר  \varepsilon מייצג מספר אל-ממדי כלשהו, כגון מספר ריינולדס, אוילר, או פרוד.

ב מקרה הקיצון,  \varepsilon = 0 , המשוואה מתנוונת למשוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר ראשון, אותה ניתן לפתור בפשטות.

 \frac{\partial f}{\partial x} + f = 0,  f(0) = 2
 f = Ce^{-x} = 2e^{-x}

זהו הפתרון של בעיית הקיצון. ברוב המקרים פתרון של בעיות קיצון אינם פיזיקליים. לדוגמא, אם בדוגמא זו  \varepsilon מייצג את מספר ריינולדס, הוא יכול להיות מספר מאוד קטן אך אינו יכול להשתוות לאפס. היות וכך, יש צורך לחקור את המקרה בו  \varepsilon קטן מאוד אך אינו אפס. נגדיר, אם כן:

 f = f_0 + \varepsilon f_1 + {\varepsilon}^2 f_2

תנאי השפה המתאים הוא:

 f(0) = 2\cdot \varepsilon^0 + 0\cdot \varepsilon^1 + 0\cdot {\varepsilon}^2

הצבת הביטוי עבור  f במשוואה לעיל נותן:

 f = \frac{\partial f_0}{\partial x} + \varepsilon \frac{\partial f_1}{\partial x} + \varepsilon^2 \frac{\partial f_2}{\partial x} +  f_0 + \varepsilon f_1 +\varepsilon^2 f_2 - \varepsilon (f_0 + \varepsilon f_1 +\varepsilon^2 f_2 )^2 = 0

ניתן עתה להפריד בין הסדרים השונים של המשוואה כדהלן:

 O(1): \frac{\partial f_0}{\partial x} + f_0 = 0,  f_0(0) = 2

סדר זה נקרא הסדר המוביל, והוא מדויק מסדר ראשון. חיסורו מהמשוואה לעיל ייתן את הסדרים הבאים, שהם סדר  \varepsilon וסדר  \varepsilon^2 , בהתאמה.

 O(\varepsilon): \frac{\partial f_0}{\partial x} + f_1 - {f_0}^2 = 0, f_1(0) = 0
 O({\varepsilon}^2): \frac{\partial f_0}{\partial x} + f_2 - f_{0}f_1 = 0, f_2(0) = 0

ניתן לפתור בהדרגה את המערכת לעיל, שהיא בעצם מערכת משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר ראשון. פתרון המשוואה הראשונה, כאמור:  f_0 = 2e^{-x} + O(\varepsilon) כלומר ששגיאת הקיטוע היא מסדר  \varepsilon . הצבה של פתרון זה במשוואה מסדר  \varepsilon יתן  f_1 = 4e^{-x} - 4e^{-2x}  + O(\varepsilon^2) , וכן הלאה, כאשר בכל פעם ניתן לקבל פתרון מדויק יותר.



ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

P physics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא פיזיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.