תורת ההפרעות (מכניקת הקוונטים)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Gnome-colors-edit-find-replace.svg יש לשכתב ערך זה. הסיבה לכך היא: כתוב כמו דף מספר לימוד, לא כמו ערך.
אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה.

תורת ההפרעות היא שיטה לפתרון מקורב של בעיות במכניקת הקוונטים, על ידי שימוש בתורת ההפרעות המתמטית. עיקר השיטה הוא הפרדת הבעיה הפיזיקלית לשתי תת-בעיות: בעיה עיקרית "מוכרת" שפתרונותיה ידועים כבר, ובעיה נוספת (בעלת ערכים קטנים ביחס לבעיה העיקרית) שפתרונותיה אינם ידועים- זוהי ההפרעה. המשמעות המתמטית של התייחסות זו, היא שניתן להביע את הפתרונות של בעיית ההפרעה באמצעות הפתרונות של הבעיה המוכרת. כך, דרך הפרדת הבעיה לשתי תת-בעיות, ופתרון של אחת מהן באמצעות האחרת, מתקבל הפתרון הכולל של המערכת. דוגמה מוכרת למערכת שניתן להתייחס אליה כאל מערכת "מופרעת" היא אדוות מים באגם- במקרה זה צורת פני המים באגם שקט הוא בעיה שפתרונה כבר מוכר לנו, והאדוות מהוות את ההפרעה במערכת.

כללי[עריכת קוד מקור | עריכה]

השיטה מתבססת על חלוקת ההמילטוניאן של המערכת לשני חלקים:

  1. ההמילטוניאן הלא מופרע - לרוב המילטוניאן אותו ניתן לפתור או שיש לו קירובים ידועים יותר
  2. ההפרעה - ביטוי התורם לאנרגיה וקשה לחשב אותו

ניתן לחזור על חלוקה זו מספר פעמים וזאת בתנאי שההפרעה בכל שלב היא קטנה יותר בסדרי גודל מההפרעות הקודמות.

שיטה זו נדרשת כאשר הספקטרום האנרגטי של המערכת ומצביה אינם ניתנים לחישוב מדויק (כפי שקורה במרבית האטומים והמולקולות).

אפשרויות אחרות לחישוב זה כוללות בין השאר:

  1. ביצוע שיטת הוואריציה על ההמילטוניאן כפונקציונל של פונקציית הגל ומציאת מינימום האנרגיה (מתאים לחישוב אנרגיית היסוד).
  2. חישוב בעזרת אנליזה נומרית של הערכים.

תורת ההפרעות שאינה תלויה בזמן[עריכת קוד מקור | עריכה]

תורת ההפרעות שאינה תלויה בזמן היא מקרה פרטי של תורת ההפרעות כאשר ההמילטוניאן המייצג את המערכת אינו משתנה בזמן. את השיטה פיתח ארווין שרדינגר ב-1926.

התיקונים הראשונים (סיכום הנוסחאות)[עריכת קוד מקור | עריכה]

נתון המילטוניאן לא מופרע, ונניח שיודעים לחשב את המצבים העצמיים והאנרגיות העצמיות שלו (ערכים עצמיים):

\ H_0 | n^{(0)} \rangle = E_n^{(0)} | n^{(0)} \rangle

נוסיף להמילטוניאן הפרעה, כלומר פוטנציאל חלש יחסית, כאשר \lambda \ll 1:

\ H = H_0 + \lambda V

האנרגיות המתוקנות יהיו:

\ E_n = E_n^{(0)} + \lambda  E_n^{(1)} + \lambda^2  E_n^{(2)} + \cdots

כאשר

התיקון הראשון לאנרגיה:  E_n^{(1)} = \langle n^{(0)} | V | n^{(0)} \rangle
התיקון השני לאנרגיה: E_n^{(2)} = \sum_{k \ne n} \frac{|\langle k^{(0)}|V|n^{(0)} \rangle|^2} {E_n^{(0)} - E_k^{(0)}}

המצבים המתוקנים יהיו:

\ | n \rangle = | n^{(0)} \rangle + \lambda | n^{(1)} \rangle + \cdots

כאשר

 |n^{(1)}\rang = \sum_{k \ne n} \frac{\langle k^{(0)}|V|n^{(0)} \rangle}{E_n^{(0)} - E_k^{(0)}} |k^{(0)}\rang

ואין ניוון.

פיתוח מתמטי[עריכת קוד מקור | עריכה]

נתחיל בהמילטוניאן הלא מופרע, H0, ונניח שאינו תלוי בזמן, ושאנו יודעים את רמות האנרגיה שלו והמצבים העצמיים שלו, הנובעים ממשוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן:

 H_0 |n^{(0)}\rang = E_n^{(0)} |n^{(0)}\rang \quad,\quad n = 1, 2, 3, \cdots

לשם פשטות, נניח כי ספקטרום האנרגיות דיסקרטי. ה(0) העליון מסמל גדלים ששייכים למערכת הבלתי מופרעת.

כעת נציג את ההפרעה להמילטוניאן. יהי V פוטנציאל פיזיקלי חלש, ו־\lambda גודל חסר ממדים, המבטא את חוזק ההפרעה ומקבל ערכים בין 0 (כלומר, אין הפרעה) ל־1 (הפרעה במלואה). ההמילוטניאן המופרע הוא לפיכך

\  H = H_0 + \lambda V

רמות האנרגיה והמצבים העצמיים של ההמילטוניאן המופרע נתונים על ידי משוואת שרדינגר:

 \left(H_0 + \lambda V \right) |n\rang = E_n |n\rang

המטרה שלנו היא לבטא את En ו־ |n\rang באמצעות רמות האנרגיה והמצבים העצמיים של ההמילטוניאן הישן. אם ההפרעה אכן חלשה, ניתן לכתוב אותם כטור חזקות ב־λ:

 E_n = E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)} + \cdots
 |n\rang = |n^{(0)}\rang + \lambda |n^{(1)}\rang + \lambda^2 |n^{(2)}\rang + \cdots

כאשר λ = 0, אנו חוזרים לערכים של מצב הלא מופרע, ולכן הם סדר אפס של הטורים. בגלל שההפרעה היא חלשה, האיברים הבאים קטנים והולכים ככל שאנו בסדר גבוה יותר.

נציב את טור החזקות במשוואת שרדינגר, ונקבל:

\begin{matrix}
\left(H_0 + \lambda V \right) \left(|n^{(0)}\rang + \lambda |n^{(1)}\rang + \cdots \right) \qquad\qquad\qquad\qquad\\
\qquad\qquad= \left(E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)} + \cdots \right) \left(|n^{(0)}\rang + \lambda |n^{(1)}\rang + \cdots \right)
\end{matrix}

נפתח את המשוואה ונשווה איברים מסדר זהה ב־λ, וכך נקבל סדרה אינסופית של משוואות מצומדות. המשוואה מסדר אפס היא כמובן משוואת שרדינגר להמילטוניאן הלא מופרע. המשוואה עבור הסדר הראשון היא

 H_0 |n^{(1)}\rang + V |n^{(0)}\rang = E_n^{(0)} |n^{(1)}\rang + E_n^{(1)} |n^{(0)}\rang

נכפיל את שני האגפים ב  \lang n^{(0)}| משמאל. האיבר הראשון באגף ימין מתבטל עם האיבר הראשון באגף שמאל, ולכן השינוי באנרגיה מסדר ראשון הוא:

 E_n^{(1)} = \langle n^{(0)} | V | n^{(0)} \rangle

זה פשוט ערך תצפית של ההפרעה כאשר המערכת במצב לא מופרע. בכדי לבטא את השינוי מסדר הראשון במצבים העצמיים, נכניס את הביטוי לשינוי מסדר ראשון באנרגיה חזרה במשוואה למעלה, ונשתמש בזהות

 V|n^{(0)}\rangle = \left( \sum_{k} |k^{(0)}\rangle\langle k^{(0)}| \right) V|n^{(0)}\rangle

התוצאה היא

 \left(E_n^{(0)} - H_0 \right) |n^{(1)}\rang = \sum_{k \ne n} \left(\langle k^{(0)}|V|n^{(0)} \rangle \right) |k^{(0)}\rang

נניח שהרמה הזו אינה מנוונת. ולכן לאופרטור מצד שמאל יש הופכי מוגדר היטב, ונקבל:

 |n^{(1)}\rang = \sum_{k \ne n} \frac{\langle k^{(0)}|V|n^{(0)} \rangle}{E_n^{(0)} - E_k^{(0)}} |k^{(0)}\rang

ניתן לקבל גם סדרים גבוהים יותר של תיקונים, אם כי החישוב נעשה מסובך יותר. לדוגמה, תיקון מסדר שני ניתן על ידי:

E_n^{(2)} = \sum_{k \ne n} \frac{|\langle k^{(0)}|V|n^{(0)} \rangle|^2} {E_n^{(0)} - E_k^{(0)}}

עבור רמת היסוד מקבלים כי תיקון זה הוא תמיד שלילי (המונה הוא תמיד חיובי והמכנה מתקבל מחיסור אנרגיית מצב מעורר מאנרגיית מצב היסוד - ערך שהוא תמיד שלילי).

במקרה בו קיים ניוון התיקון מסדר ראשון לאנרגיה נקבע על ידי הערכים העצמיים של הפוטנציאל בתת-המרחב המנוון.

תורת ההפרעות התלויה בזמן[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – תורת ההפרעות התלויה בזמן

ישנן טכניקות לשימוש בתורת ההפרעות גם כאשר להמילטוניאן המייצג את המערכת נוספת הפרעה המשתנה בזמן. בתורת ההפרעות התלויה בזמן בדרך כלל מנסים לחשב כיצד תעבור המערכת בין מצביה העצמיים (הלא מופרעים) בעקבות ההפרעה.