תורת הקבוצות - מונחים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
  • קבוצה: מושג יסודי בתורת הקבוצות. התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם.
  • תת קבוצה: קבוצה B היא תת קבוצה של הקבוצה A אם כל איבר של B שייך גם ל-A. נסמן זאת בצורה: B\subseteq A.
  • הקבוצה הריקה: קבוצה שאין בה איברים, והיא מסומנת בסימן \emptyset (שמקורו באות הנורבגית "Ø" ) או בצורה {}.
  • יחידון (סינגלטון בלועזית): קבוצה שמכילה איבר אחד בלבד.
  • פעולות על קבוצות:
    • איחוד: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את איברי כל הקבוצות שעליהן פעלה פעולת האיחוד.
    • חיתוך: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את האיברים ששייכים לכל אחת ואחת מהקבוצות שעליהן פעלה פעולת החיתוך.
      • הפעולה חיתוך היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
        • מתקיימת דיסטריבוטיביות של החיתוך מעל האיחוד ודיסטריבוטיביות האיחוד מעל החיתוך.
    • הפרש: ההפרש בין A ל־B הוא קבוצה המכילה את כל האיברים השייכים ל־A ולא שייכים ל־B.
      • פעולת ההפרש אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
    • הפרש סימטרי: ההפרש הסימטרי של הקבוצות A ו-B הוא הקבוצה המורכבת מכל איברי A שלא שייכים ל-B וכל איברי B שלא שייכים ל־A - כלומר, כל האיברים השייכים בדיוק לאחת הקבוצות.
      • הפעולה הפרש סימטרי היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
    • מכפלה קרטזית: המכפלה הקרטזית של שתי קבוצות A,B היא קבוצה המכילה את כל הזוגות הסדורים שאיברם הראשון שייך ל-A והשני שייך ל-B. ניתן להרחיב פעולה זו לכל מספר, גם אינסופי, של קבוצות.
      • הפעולה "מכפלה קרטזית" אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
    • בחירה
  • קבוצות זרות: שתי קבוצות הן זרות אם חיתוכן הוא הקבוצה הריקה.
  • קבוצה אינסופית: קבוצה שקיימת קבוצה החלקית לה ממש ושקולה לה.
  • עוצמה: מושג המשקף את גודלה של קבוצה, כלומר את מספר איבריה. עוצמה של קבוצה A תסומן  \left|A\right| .
    • 0א: עוצמתה של קבוצת מספרים הטבעיים.
    • א או c: עוצמתה של קבוצת המספרים הממשיים, נקראת גם 'עוצמת הרצף'.
  • השערת הרצף: ההשערה כי לא קיימת עוצמה בין 0א ו-א, זו השערה שלא ניתן להוכיח או להפריך תחת האקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות (אקסיומות ZF).
  • קבוצה בת מנייה: קבוצה שעוצמתה שווה לעוצמת המספרים הטבעיים, כלומר ניתן למנות את איבריה.
  • קבוצת החזקה: קבוצה המכילה את כל תת-הקבוצות של קבוצה נתונה. קבוצת החזקה של קבוצה A תסומן \mathcal{P}(A).
  • יחס (בינארי): קבוצה שמכילה זוגות סדורים, כך שהאיבר הראשון בזוג בא תמיד מקבוצה מסוימת - A, והאיבר השני בא מקבוצה נוספת - B (לא בהכרח שונה מ-A). בכתיב פורמלי: קבוצה R תיקרא יחס מ-A ל-B אם \!\,R\subseteq A\times B.
    • פונקציה: יחס בו לכל איבר של A קיים זוג סדור *יחיד* שהוא האיבר הראשון שלו.
      • פונקציה חד-חד ערכית: פונקציה \!\,f:X\rarr Y תקרא חד-חד ערכית (חח"ע) אם לכל y בטווח Y קיים לכל היותר x אחד בתחום X המקיים \!\,f(x)=y.
      • פונקציה על: פונקציה \!\,f:X\rarr Y תקרא על אם לכל y בטווח Y קיים לפחות x אחד בתחום X המקיים \!\,f(x)=y.
      • פונקציה הפיכה: פונקציה שקיימת לה פונקציה הפכית; לכל \ y קיים \ x יחיד כך ש- \ f(x)=y (כלומר, הפונקציה היא חח"ע ועל).
    • יחס שקילות: יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, סימטריות וטרנזיטיביות. יחס מעל קבוצה A המקיים את שלוש תכונות אלו מחלק אותה למחלקות שקילות.
    • סדר חלקי: יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, אנטי סימטריות וטרנזיטיביות.
      • סדר מלא: סדר מלא הוא סדר חלקי בו כל שני איברים בקבוצה ניתנים להשוואה.
      • סדר טוב: סדר טוב הוא סדר חלקי בו לכל תת-קבוצה של הקבוצה עליה הוגדר יש איבר ראשון.
      • שרשרת: קבוצה חלקית לקבוצה סדורה בסדר חלקי, שכל שני איברים בה ניתנים להשוואה (כלומר היא סדורה בסדר מלא).
  • קבוצת כל הפונקציות מקבוצה A לקבוצה B: קבוצה המסומנת B^A והמכילה את כל הפונקציות מהקבוצה A אל תוך הקבוצה B.
  • ייחוס של קבוצה (או מחלקה) לקבוצה אחרת.