תור M/M/c

בתורת התורים, תור M/M/c (גם M/M/k, M/M/m, M/M/s) הוא מודל תורים מתמטי וסטוכסטי למערכת בעלת תור אחד ללא מגבלה ו-c שרתים הזהים בפעולתם ובקצב עבודתם, כאשר c הוא מספר טבעי השונה מאפס. המודל מהווה הכללה לתור M/M/1 שמשמש כמודל למערכת בעלת תור אחד ללא מגבלה ושרת יחיד. הסימון M/M/c מייצג על פי סימון קנדל מערכת כלהלן:

• תהליך ההגעה של הלקוחות הוא תהליך פואסון (ועל כן משך הזמן שבין הגעה להגעה הוא בעל התפלגות מעריכית)
• זמני השירות בכל שרת הם בעלי התפלגות מעריכית גם הם, ותוחלת זמן השירות בכל השרתים זהה.
• קיימים c שרתים זהים במערכת
• קיבולת התור שבו הלקוחות ממתינים הוא אינסופי
• הלקוחות נגזרים מאוכלוסייה אינסופית של מבקשי שירות פוטנציאליים
• שיטת השירות היא FCFS, כלומר מגיע ראשון מקבל שירות ראשון. מאחר שמדובר בשרת רבים^{[דרושה הבהרה]} אין הדבר גורר בהכרח נכנס ראשון יוצא ראשון.

תור M/M/c כתהליך לידה ומוות

אם נגדיר את מספר הלקוחות במערכת k כמשתנה המצב, תור M/M/c ניתן לייצוג כתהליך לידה ומוות (Birth-death process) שבו קצב הלידה (הגעת לקוח חדש לתור) קבוע עבור כל המצבים, אך קצב המוות (סיום שירות ויציאה מהמערכת) משתנה בהתאם למספר השרתים הפעילים. יהי λ קצב הגעת הלקוחות ו-μ קצב השירות של שרת יחיד אזי קצב השירות וקצב המוות בכל מצב k של המערכת ניתנים באמצעות:

$\lambda_k = \lambda,\ \forall k$

$\mu_k = \begin{cases} k\mu, & \mbox{if }0 \le k \le c \\ c\mu, & \mbox{if } c \le k \end{cases}$

קל לראות שרק עבור $\rho = \frac{\lambda}{c\mu} < 1$ המערכת תתכנס בטווח הרחוק ותהיה יציבה, שכן אחרת התור יילך ויגדל לאינסוף.

תוצאות שיווי המשקל

נהוג להגדיר את היחס בין הקצבים כפרמטר של המערכת: $\scriptstyle \rho\,=\,\tfrac{\lambda}{c\mu}.$, וכאמור, המערכת תגיע לשיווי משקל רק עבור $\rho < 1$. פתרון תהליך הלידה והמוות מניב את ההסתברות שהמערכת תהיה במצב k, כלומר שבמערכת כולה יהיו k לקוחות, והיא:

$\pi_k = \begin{cases} \pi_0\dfrac{(c\rho)^k}{k!}, & \mbox{if }0 \le k \le c \\[10pt] \pi_0\dfrac{\rho^k c^c}{c!}, & \mbox{if } c \le k \end{cases}$

כאשר $\pi_0$ היא ההסתברות שבמערכת יהיו אפס לקוחות, והיא נתונה על ידי:

$\pi_0 = \left[\sum_{k=0}^{c-1}\frac{(c\rho)^k}{k!} + \frac{(c\rho)^c}{c!}\frac{1}{1-\rho}\right]^{-1}$

ההסתברות שלקוח חדש ייאלץ להמתין בתור למשך זמן כלשהו, כלומר שברגע הגעתו לא יהיה אף שרת פנוי היא:

$P[K \ge c] = \pi_{c+} = \sum^\infty_{k=c} \pi_{k} = \frac{(c\rho)^c}{c!(1-\rho)}\pi_0$

נוסחה זו להסתברות מכונה "נוסחת ההשהיה של ארלנג" (The Erlang delay formula) או "נוסחת ארלנג C" והיא מתארת את ההסתברות שלקוח טלפוניה יצטרך להמתין לקבלת קו טלפון לצורך שיחה בהינתן c שרתים.

מספר הלקוחות הממוצע במערכת בשיווי משקל נתון על ידי:

$\overline L = c\rho + \frac{\rho}{1-\rho}\pi_{c+}$

ומספר הלקוחות הממוצע הממתינים בתור נתון על ידי:

$\overline L_Q = \frac{\rho}{1 - \rho}\pi_{c+}$

באמצעות חוק ליטל ניתן לחשב מכאן את משך הזמן הממוצע שלקוח יבלה במערכת:

$\overline W = \frac{\overline L}{\lambda} = \frac{1}{\mu} + \frac{\rho}{\lambda(1 - \rho)}\pi_{c+}$

ואת משך הזמן הממוצע שלקוח ימתין בתור:

$\overline W_Q = \frac{\overline L_Q}{\lambda} = \frac{\rho}{\lambda(1 - \rho)}\pi_{c+}$

קמירות

במאמר מאת האו ליונג לי ומוריס כהן הוכיחו השניים כי נוסחת ההשהיה של ארלנג היא פונקציה קמורה ומונוטונית עולה ממש ב-$\rho$ כאשר $\rho < 1$ ו- $0 < \rho$. להוכחה זו השפעות מרחיקות לכת מבחינת היכולת להגיע לאופטימיזציה מתמטית של הפונקציה, בעיקר בשל היכולת להשתמש באופטימיזציה קמורה. שאר המדדים, דהיינו $\overline L, \overline L_Q, \overline W, \overline W_Q$, נגזרים מנוסחה זו וכל אחד ניתן לייצוג כמכפלה של שתי פונקציות עולות ממש וקמורות (שאחת מהן היא $\pi_{c+}$) או סכום של פונקציות קמורות. לכן גם הן קמורות.