תחום הערכה דיסקרטית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה מופשטת, תחום הערכה דיסקרטיתאנגלית discrete valuation ring, או DVR) הוא תחום שלמות המהווה חוג שלמים של הערכה דיסקרטית כלשהי של שדה (ראו להלן).

מבין החוגים המרכזיים בתורת המספרים האלגברית, האריתמטיקה של תחומי הערכה דיסקרטית היא הפשוטה ביותר: בכל חוג כזה יש איבר ראשוני יחיד p, וכל איבר שקול (עד כדי הפיכים) לחזקה של p; לכן כל אידאל של החוג הוא מהצורה \ \langle p^n \rangle. כל מיקום של חוג דדקינד באידאל ראשוני הוא תחום הערכה דיסקרטית. לדוגמה, \,\mathbb{Z}_{\langle 2 \rangle} = \{\frac{a}{b} : a,b \in \mathbb{Z}, 2\!\not | b\} הוא תחום הערכה דיסקרטית (השייך להערכה ה-2-אדית של הרציונליים).

את תחומי ההערכה הדיסקרטיים אפשר לאפיין בדרכים רבות. להלן כמה הגדרות שקולות, הקובעות מתי תחום שלמות R הוא תחום הערכה דיסקרטית.

  1. R הוא תחום ראשי מקומי (שאינו שדה).
  2. R הוא חוג דדקינד מקומי (שאינו שדה).
  3. R הוא חוג מקומי נתרי עם ממד קרול חיובי, שהאידאל המקסימלי שלו ראשי.
  4. R הוא תחום פריקות יחידה בעל איבר אי פריק יחיד (עד כדי כפל באיברים הפיכים).
  5. קיימת הערכה דיסקרטית v על שדה השברים K של R כך ש R הוא חוג השברים \,R=\{x\in K:v(x)\ge 0\}. החוג קובע את ההערכה באופן יחיד (עד כדי כפל בקבוע).
  6. R הוא חוג הערכה שחבורת ההערכה שלו היא המספרים השלמים ביחס לפעולת החיבור.

לכל שדה ממאפיין חיובי p יש חוג הערכה דיסקרטית שלם לא מסועף יחיד ששדה השאריות שלו הוא F. כל חוג מקומי (קומוטטיבי) ארטיני ראשי הוא מנה של תחום הערכה דיסקרטית שלם.

יהי P האידאל המקסימלי של תחום שלמות R. אזי אפשר להגדיר את ההערכה הבאה: v(x) = \max\{ n | x \in P^n \} ו-v(0)=\infty. לדוגמה, קל לראות שההערכה ה-p-אדית מתקבלת בצורה זו כאשר p\mathbb{Z}_p הוא האידאל המקסימלי P בחוג המספרים ה-p-אדיים. הערכה זו מאפשרת להגדיר ערך מוחלט p-אדי |x|_p = p^{-v(x)} על שדה המספרים ה-p-אדיים.