תמונה (תורת הקטגוריות)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת הקטגוריות, תמונה של מורפיזם היא מורפיזם בעל תכונות מסוימות (אם קיים כזה), המכליל את מושג התמונה של פונקציה.

בקטגוריה C, מונומורפיזם h : I \to Y הוא תמונה של המורפיזם f : X \to Y, אם:

  1. קיים מורפיזם g : X \to I כך ש f=hg.
  2. לכל אובייקט Z ולכל מורפיזם k : X \to Z ומונומורפיזם l : Z \to Y כך ש f=lk קיים מורפיזם יחיד m : I \to Z כך ש k=mg ו h=lm.

CategoriaImagem.PNG

מן התכונה השנייה, הנקראת "אוניברסליות", נובע שאם התמונה קיימת אז היא יחידה עד כדי איזומורפיזם.

התמונה של f מסומנת לעתים קרובות ב-\mathrm{Im}(f).

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בקטגוריה של קבוצות התמונה של מורפיזם f : X \to Y היא ההכלה של התמונה \{f(x) | x \in X \} לתוך Y. בקטגוריות רבות, כגון הקטגוריה של חבורות, הקטגוריה של חבורות אבליות והקטגוריה של מודולים התמונה של מורפיזם היא התמונה של המורפיזם המתאים בקטגוריה של קבוצות (לאחר הפעלת הפונקטור השוכח).