תנאי הלדר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
(הופנה מהדף תנאי הולדר)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באנליזה מתמטית, תנאי הלדר, הקרוי על-שם המתמטיקאי הגרמני אוטו הלדר, הוא תנאי על פונקציות הקובע במובן מסוים את מידת הרציפות שלהן. תנאי זה מרחיב את תנאי ליפשיץ.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציה ממשית \ f מקיימת את תנאי הלדר (Hölder condition) אם קיימים קבועים ממשיים אי-שליליים \ K\ , \alpha המקיימים:

לכל \ x,y בתחום הגדרת הפונקציה \ |f(x)-f(y)|\le K|x-y|^\alpha.

ניתן להכליל את תנאי הלדר גם עבור פונקציה בין שני מרחב מטריים כלשהם; יהיו \ X,Y מרחבים מטריים עם המטריקות \ d_X , d_Y בהתאמה, \ f:X\to Y. הפונקציה \ f מקיימת את תנאי הלדר אם קיימים קבועים ממשיים \ K\ , \alpha המקיימים:

לכל x_1,x_2\in X מתקיים \ d_Y(f(x_1),f(x_2))\le Kd_X(x_1,x_2)^\alpha.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • אם פונקציה מקיימת את תנאי הלדר בתחום מסוים עם קבוע \,0<\alpha אז היא רציפה באותו תחום. לעומת זאת, תנאי הלדר עם הקבוע \,\alpha=0 פירושו למעשה חסימות של הפונקציה.
  • מהקמירות של הפונקציה \ t^\alpha, עבור כל מעריך שגדול מ-1, נובע שאם פונקציה מ-\mathbb{R} או מכל מרחב נורמי אחר מקיימת את תנאי הלדר עבור \ \alpha גדול מאחד אז היא בהכרח קבועה. הטענה אינה נכונה כאשר \,X מרחב מטרי כלשהו.
  • תנאי הלדר עם קבוע \,\alpha=1 נקרא תנאי ליפשיץ.

אוסף הפונקציות המקיימות את תנאי הלדר עבור מעריך מסוים \alpha מעל קבוצה פתוחה \Omega במרחב האוקלידי מהווה מרחב וקטורי ומסומן \ C^{0,\alpha} (\Omega ). אוסף הפונקציות שהנגזרת ה-n-ית שלהן מקיימות את תנאי ליפשיץ באותו התחום מסומן: \ C^{n,\alpha} (\Omega ), וגם הוא מרחב וקטורי.

על המרחבים האלו מוגדרת סמי-נורמה טבעית (כאשר ב- \ C^{n,\alpha} (\Omega ) ההגדרה יותר מורכבת וכוללת גם את הנגזרות):

 | f |_{C^{0,\alpha}} = \sup_{x,y \in \Omega} \frac{| f(x) - f(y) |}{|x-y|^\alpha}