תנאי הולדר

באנליזה מתמטית, תנאי הולדר, הקרוי על-שם המתמטיקאי הגרמני אוטו הולדר, הוא תנאי על פונקציות הקובע במובן מסוים את מידת הרציפות שלהן. תנאי זה מרחיב את תנאי ליפשיץ.

הגדרה

פונקציה ממשית $\ f$ מקיימת את תנאי הולדר (Hölder condition) אם קיימים קבועים ממשיים אי-שליליים $\ K\ , \alpha$ המקיימים:

לכל $\ x,y$ בתחום הגדרת הפונקציה $\ |f(x)-f(y)|\le K|x-y|^\alpha$.

ניתן להכליל את תנאי הולדר גם עבור פונקציה בין שני מרחב מטריים כלשהם; יהיו $\ X,Y$ מרחבים מטריים עם המטריקות $\ d_X , d_Y$ בהתאמה, $\ f:X\to Y$. הפונקציה $\ f$ מקיימת את תנאי הולדר אם קיימים קבועים ממשיים $\ K\ , \alpha$ המקיימים:

לכל $x_1,x_2\in X$ מתקיים $\ d_Y(f(x_1),f(x_2))\le Kd_X(x_1,x_2)^\alpha$.

תכונות

• אם פונקציה מקיימת את תנאי הולדר בתחום מסוים עם קבוע $\,0<\alpha$ אז היא רציפה באותו תחום. לעומת זאת, תנאי הולדר עם הקבוע $\,\alpha=0$ פירושו למעשה חסימות של הפונקציה.
• מהקמירות של הפונקציה $\ t^\alpha$, עבור כל מעריך שגדול מ-1, נובע שאם פונקציה מ-$\mathbb{R}$ או מכל מרחב נורמי אחר מקיימת את תנאי הולדר עבור $\ \alpha$ גדול מאחד אז היא בהכרח קבועה. הטענה אינה נכונה כאשר $\,X$ מרחב מטרי כלשהו.
• תנאי הולדר עם קבוע $\,\alpha=1$ נקרא תנאי ליפשיץ.

אוסף הפונקציות המקיימות את תנאי הולדר עבור מעריך מסוים $\alpha$ מעל קבוצה פתוחה $\Omega$ במרחב האוקלידי מהווה מרחב וקטורי ומסומן $\ C^{0,\alpha} (\Omega )$. אוסף הפונקציות שהנגזרת ה-n-ית שלהן מקיימות את תנאי ליפשיץ באותו התחום מסומן: $\ C^{n,\alpha} (\Omega )$, וגם הוא מרחב וקטורי.

על המרחבים האלו מוגדרת סמי-נורמה טבעית (כאשר ב- $\ C^{n,\alpha} (\Omega )$ ההגדרה יותר מורכבת וכוללת גם את הנגזרות):

$| f |_{C^{0,\alpha}} = \sup_{x,y \in \Omega} \frac{| f(x) - f(y) |}{|x-y|^\alpha}$