תנאי שוורצשילד

באסטרופיזיקה תנאי שוורצשילד (באנגלית: Schwarzschild criterion) הוא תנאי ליציבות של גרם שמים כמו כוכב או ענק גזים כנגד קונווקציה. קרוי על שמו של הפיזיקאי קרל שוורצשילד. תנאי שוורצשילד הוא מקרה פרטי של תנאי לדו, בו מניחים הרכב כימי הומוגני של גרם השמיים. לתנאי זה ישנו שימוש באסטרופיזיקה כאשר דנים בכוכבים ומדעים פלנטריים, כאשר חוקרים את המבנה הפנימי של ענקי הגז.

לתנאי יש מספר ניסוחים מתמטיים שקולים או דומים. אחד מהנפוצים הוא:

$-{\frac {dT}{dZ}}<{\frac {g}{C_{p}}}$

כאשר T זו הטמפרטורה, Z הוא הגובה ביחס למרכז גרם השמיים, $g$ היא תאוצת הכובד ו-$C_{p}$ הוא קיבול החום בלחץ קבוע.

נוסח אחר של התנאי הוא:

$\nabla _{ad}>\nabla$

כאשר $\nabla \equiv {\frac {d\ln T}{d\ln P}}$ הוא "גרדיאנט הטמפרטורה" של גרם השמיים ו-$\nabla _{ad}$ הוא גרדיאנט הטמפרטורה האדיאבטי.

כאשר תנאי מתמטי זה מתקיים, האזור יציב לקונווקציה, כלומר החום עובר בהקרנה או הולכה ואין תנועת חומר המסיע את חום. בדרך כלל המעבר בהקרנה יעיל בהרבה מהולכה וניתן לקרב את גרדיאנט הטמפרטורה האמיתי של גרם השמיים ל"גרדיאנט הטמפרטורה הרדיאטיבי" (כלומר$\nabla \simeq \nabla _{rad}$), הנתון על ידי:

$\nabla _{rad}=\left({\frac {d\ln T}{d\ln P}}\right)_{rad}={\frac {P}{4p_{r}}}{\frac {\kappa L}{4\pi cGm}}$

כאשר P זה הלחץ, L זו ההארה (Luminosity), $\kappa$ זו האטימות, c מהירות האור, G קבוע ניוטון, m המסה ו-$p_{r}={\frac {1}{3}}aT^{4}$. ההארה עצמה נתונה לפי:

$L=-4\pi r^{2}{\frac {c}{\kappa \rho }}{\frac {dp_{r}}{dr}}$

הסבר אינטואיטיבי

נסתכל על אזור בגרם שמים גזי. הלחץ, הצפיפות הטמפרטורה יורדים עם הרדיוס. נדבר על מודל חד-ממדי בו מתייחסים לרדיוס כ"גובה". ניקח בועה של חומר ונעלה אותה למעלה באופן אדיאבטי, כלומר ללא החלפת חום עם הסביבה, כלומר הבועה שומרת על טמפרטורה קבועה. הבועה שומרת על שיווי משקל מכני עם הסביבה, כלומר הלחץ הפנימי בה שווה ללחץ הסביבה. מכיוון שטמפרטורה שלה קבועה והלחץ יורד, הבועה מתנפחת ונפחה עולה. כך צפיפות הבועה יורדת.

השאלה שנשאלת היא: האם הבועה תמשיך לעלות או תשקע חזרה? אם הבועה שוקעת, האזור נקרא יציב. אחרת, יתחיל תהליך של זרימת חומר כלפי מעלה- כלומר האזור יהפוך לבלתי יציב. במקרה היציב, החום מועבר על ידי הקרנה בעיקר ובמקרה הלא יציב על ידי הסעה.

פיתוח מתמטי

התנהגות הבועה נקבעת על ידי ציפה. כלומר שקיעה או עליה של הבועה היא פונקציה של יחס בין צפיפות הסביבה לצפיפות הבועה:

1. אם הבועה צפופה יותר מהסביבה, הבועה תשקע חזרה.
2. אם הסביבה צפופה יותר מהבועה, הבועה תצוף.

כלומר היציבות נקבעת לפי הקריטריון:

$|\Delta \rho _{ad}|<|\Delta \rho |$

כאשר השינוי הוא לאורך רדיוס הגרם. מכיוון שלפי משוואת המצב $P\sim \rho T$ ואנו שומרים על לחץ קבוע, ניתן לתרגם את התנאי ל:

$\left|{\frac {dT}{dr}}\right|_{ad}<\left|{\frac {dT}{dr}}\right|$

תוך שימוש בכלל השרשרת:

$\left|{\frac {dT}{dr}}\right|=\left|{\frac {dT}{dP}}{\frac {dP}{dr}}\right|=\left|{\frac {dT}{dP}}\cdot g\cdot \rho \right|=\left|{\frac {dT}{dP}}\right|\cdot g{\frac {m_{H}\mu }{kT}}P=\left|{\frac {d\ln T}{d\ln P}}\right|\cdot g{\frac {m_{H}\mu }{k}}$

המעבר השני נובע משיווי משקל הידרוסטטי והשלישי ממשוואת המצב. $\mu$ הוא משקל מולקולרי ממוצע, k הוא קבוע בולצמן ו$m_{H}$ הוא מסת אטום המימן. כך התנאי מתורגם ל:

$\left|{\frac {d\ln T}{d\ln P}}\right|_{ad}>\left|{\frac {d\ln T}{d\ln P}}\right|$

או בצורתו המקוצרת:

$\nabla _{ad}>\nabla$