תנועה מעגלית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
כיווני המהירות והתאוצה בתנועה מעגלית

בפיזיקה, תנועה מעגלית היא תנועה של גוף על גבי מסלול מעגלי. תנועה מעגלית נפוצה מאוד בטבע. דוגמאות למערכות המתוארות על ידי תנועה מעגלית: לוויין המקיף את כדור הארץ, מסה מסתובבת הקשורה לחוט מתוח ומטען חשמלי בשדה מגנטי.

תנועה מעגלית קצובה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תנועה מעגלית קצובה היא תנועה בה גודל המהירות לא משתנה אלא רק הכיוון שלה. מאחר שמהירות היא גודל וקטורי, תנועה זו איננה תנועה שוות מהירות.
המהירות הזוויתית של הגוף היא קבועה:  \omega = \frac{d\theta}{dt}=\frac {2 \pi}{T} \ , כאשר T הוא זמן המחזור של התנועה. כמו כן, המהירות הקווית של הגוף, שכיוונה משיק למעגל, קבועה והיא:  v\, = \frac {2 \pi R } {T} = \omega R .
גודל התאוצה המקיימת תנועה מעגלית קצובה הוא a_R=\omega^2R=\frac{v^2}{R} וכיוונה כלפי ציר הסיבוב (מרכז המעגל). תאוצת הגוף אנכית למהירותו, כך שגודל המהירות בכיוון המשיק למעגל אינה משתנה, אלא רק כיוונה. מהחוק השני של ניוטון נובע שגודל הכוח הדרוש לשמור על תנועה מעגלית קצובה הוא: F_r=ma_R=m\omega^2R=\frac{mv^2}{R}.
כיוונו ככיוון התאוצה, כלומר לכיוון מרכז המעגל, והוא נקרא כוח צנטריפטלי. היות שהכח השקול פועל בניצב למהירות הגוף, הוא אינו מבצע עבודה והאנרגיה נשמרת.
ההעתק הזוויתי שעבר הגוף לאחר זמן t הוא:  \theta = 2 \pi \frac{t}{T} = \omega t\,.

תנועה מעגלית שאינה קצובה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אנימציה של תנועה מעגלית שאינה קצובה - מטוטלת אנכית המבצעת תנועה מעגלית שאינה קצובה בהשפעת כוח הכבידה. הגרף למעלה מראה את המהירות המשתנה של המשקולת.

תנועה מעגלית מתאפשרת גם כאשר גודל המהירות אינו קבוע. דוגמה לתנועה מסוג זה היא תנועת מטוטלת אנכית בהשפעת כח הכבידה.
בתנועה זו המהירות הזוויתית \omega(t) = \frac{d\theta}{dt} משתנה ולכן קיימת תאוצה זוויתית: \alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac {d^2 \theta } {dt^2}.
לכן, גודל המהירות הזוויתית הוא \omega(t) = \omega_0+\int_{0}^{t}\alpha(t')dt' ובפרט כאשר התאוצה הזוויתית קבועה: \omega(t) = \omega_0+\alpha t.
גודל המהירות הקווית, שכיוונה משיק למעגל, משתנה בזמן: v = \omega(t)R.
תאוצת הגוף בתנועה זו מורכבת מרכיב רדיאלי: a_R=\omega(t)^2R המשנה את כיוון המהירות המשיקית ומרכיב משיקי: a_T=\alpha R המשנה את גודל המהירות המשיקית.
באותו אופן, הכח השקול הפועל על הגוף הנע גם כן שווה לסכום וקטורי של שני רכיבים - רכיב רדיאלי המכוון למרכז המעגל, האחראי על קיום התנועה המעגלית ועל השינוי בכיוון מהירות הגוף; ורכיב משיקי, האחראי על השינוי במהירות הגוף.

תיאור מתמטי[עריכת קוד מקור | עריכה]

המחשה ויזואלית לנוסחאות

נוח לתאר תנועה מעגלית בקואורדינטות קוטביות (על ידי הגדלים r ו-θ), כך שהגוף נמצא במרחק R קבוע ממרכז המעגל ונטוי בזווית משתנה \theta(t) יחסית לציר מסוים.
על מנת למקם את הגוף במישור נעזר בווקטורי היחידה הפולריים המשתנים בזמן:

\ 
 \begin{matrix}
 \hat r(t) = \hat{e}_r(t) & = &   \cos(\theta(t))  \hat{x} & + & \sin(\theta(t)) \hat{y} \\
 \hat \theta(t) = \hat{e}_\theta(t) & = &  - \sin(\theta(t)) \hat{x} & + & \cos(\theta(t)) \hat{y} \\
 \end{matrix}

לפי כך, וקטור היחידה \hat r(t) כיוונו ממרכז המעגל כלפי הגוף, כלומר כיוונו רדיאלי ווקטור היחידה \hat \theta(t) כיוונו הוא ככיוון המשיק למעגל, כלומר כיוונו משיקי.
וקטור המיקום \vec r(t) הוא וקטור ממרכז המעגל למיקום הגוף ברגע t:

\vec r(t) = R\hat r(t)

המהירות היא נגזרת וקטור המיקום לפי הזמן:

 \vec v = \frac {d}{dt} \vec r(t) = \frac {d R}{dt} \hat r + R\frac {d \hat r } {dt}

מכיוון שרדיוס התנועה R קבוע, נגזרתו שווה לאפס, לעומתו וקטור הכיוון \hat r(t) משתנה בזמן:


\frac {d \hat r } {dt} = -\frac {d \theta } {dt}\sin\theta\hat x + \frac {d \theta } {dt}\cos\theta\hat y = \frac {d \theta } {dt}(-\sin\theta\hat x + \cos\theta\hat y) = \frac {d \theta } {dt}\hat \theta

נגדיר מהירות זוויתית \omega(t) כשינוי של הזווית לפי הזמן: \omega(t) = \frac{d\theta}{dt} ולכן: \frac {d \hat r } {dt} =  \omega(t)\hat \theta.
וקטור המהירות המתקבל הוא:  \vec v = \omega(t)R\hat \theta
כלומר, לגוף אין מהירות בכיוון הרדיאלי אלא רק בכיוון המשיקי, את מהירות זו נכנה המהירות המשיקית ונסמנה v כך ש-v = \omega(t)R.
התאוצה היא נגזרת וקטור המהירות לפי הזמן:

 \vec a = \frac {d}{dt} \vec v(t) = \frac{d\omega}{dt}R\hat \theta + \omega(t)R\frac{d\hat\theta}{dt}\hat r

נחשב את הנגזרת של \hat\theta(t):

\frac{d\hat\theta}{dt} = -\frac {d \theta } {dt}\cos\theta\hat x - \frac {d \theta } {dt}\sin\theta\hat y = -\frac {d \theta } {dt}(\cos\theta\hat x + \sin\theta\hat y) = -\frac {d \theta } {dt}\hat r = -\omega(t)\hat r

נגדיר תאוצה זוויתית \alpha כשינוי של המהירות הזוויתית לפי הזמן: \alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac {d^2 \theta } {dt^2}.
וקטור התאוצה המתקבל הוא:  \vec a = -\omega(t)^2R\hat r + \alpha R\hat \theta
כלומר, לגוף יש תאוצה שכיוונה כלפי מרכז המעגל וגודלה a_R=\omega(t)^2R, שגורמת לשינוי בכיוון המהירות המשיקית ותאוצה משיקית שגודלה a_T=\alpha R, שגורמת לשינוי בגודל המהירות המשיקית.
כמו כן, מתוך המשוואה הדיפרנציאלית: d\theta = \omega(t)dt, ניתן לבטא את ההעתק הזוויתי של הגוף: \theta(t) = \theta_0+\int_{0}^{t}\omega(t')dt'.

תנועה מעגלית כתופעה מחזורית[עריכת קוד מקור | עריכה]

תנועה מעגלית קצובה היא תופעה מחזורית והיא מתאפיינת בזמן מחזור T (פרק הזמן בו מבצע הגוף מחזור שלם) ובתדירות f (מספר המחזורים בשנייה): T=\frac{2 \pi R}{v}=\frac{1}{f}

במקרה של תנועה מעגלית קצובה, התדירות הזוויתית, המוגדרת \omega={{2 \pi} \over T}={2 \pi f}, שווה למהירות הזוויתית \omega=\frac{v}{R}.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]