תת-חבורת הקומוטטורים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה ובמיוחד באלגברה מופשטת, תת חבורת הקומוטטורים \ G' של חבורה \ G היא התת-חבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים של אברים בחבורה. תת-חבורת הקומוטטורים מודדת עד כמה החבורה היא אבלית: היא טריוויאלית אם ורק אם החבורה אבלית, ובאופן כללי יותר, המנה \ G/G' היא המנה האבלית הגדולה ביותר של G.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הקומוטטור של שני אברים g,h בחבורה G הוא, לפי ההגדרה, האיבר \ [g,h]=ghg^{-1}h^{-1}. תת-חבורת הקומוטטורים של \ G היא החבורה הנוצרת על ידי כל האברים האלה, כלומר, \ \langle [h,g] | h,g \in G \rangle.

את החבורה המתקבלת מסמנים \ G', או \ [G,G]. הסימון האחרון מאפשר הכללה: אם \ A,B תת-חבורות נורמליות של G, אז \ [A,B] היא תת-החבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים \ [a,b] עבור \ a\in A, b\in B; גם זו תת-חבורה נורמלית, המוכלת ב- A וב- B.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

תת-חבורת הקומוטטורים היא התת-חבורה הנורמלית הקטנה ביותר כך שחבורת המנה \ G/G' היא אבלית: לכל תת-חבורה נורמלית \ N של \ G, המנה \ G/N אבלית אם ורק אם \ G' \subseteq N. חבורת המנה \ G/G' נקראת האבליזציה של \ G.

מכיוון שהומומורפיזם \ f : G \to H מעביר קומוטטור לקומוטטור, מתקיימת ההכלה \ f(G')\subset H'. עבור חבורות מנה, ניתן לחשב ש- \ [A/N,B/N]=[A,B]N/N ובפרט \ (G/N)'=G'N/N.

ידוע שכל איבר בתת-חבורת הקומוטטורים הוא "קומוטטור ארוך", מן הצורה \ a_1 \dots a_n a_1^{-1} \dots a_n^{-1}.

הכללות[עריכת קוד מקור | עריכה]

פעולת הקומוטטור מאפשרת להגדיר תת-חבורות חשובות של G, באינדוקציה: \ G^{(0)} := G, ולכל n, \ G^{(n+1)} := [G^{(n)},G^{(n)}]. בפרט מקצרים וכותבים \ G' = [G,G], \ G'' = [G',G'] וכן הלאה. אם סדרה זו מגיעה בסופו של דבר לחבורה הטריוויאלית, אז G היא פתירה. חבורה המקיימת את השוויון \ G'=G נקראת חבורה מושלמת. לדוגמה, תת-חבורת הקומוטטורים של חבורת התמורות \ S_n היא חבורת התמורות הזוגיות המתאימה, \ A_n, בעוד ש- \ A_n מושלמת לכל \ 5\leq n (מפני שהיא פשוטה ולא אבלית).

בדומה לזה, מגדירים \ G_{n+1} = [G,G_n], כאשר \ G_1 := G. אם הסדרה הזו מגיעה ל-1, החבורה נילפוטנטית.

נוסחת קומוטטורים מוכללת היא הנוסחה \ \psi = x_1, או נוסחה מהצורה \ \psi = [\psi',\psi''] כאשר \ \psi',\psi'' הן נוסחאות קומוטטורים מוכללות במשתנים שונים. פיליפ הול הבחין שכל נוסחה כזו שייכת לאחת משתי מחלקות, אלו המקיימות \ [G_n,G_n] \subseteq \psi(G) (לכל חבורה G), ואלו המקיימות \ \psi(G) \subseteq [G,G'']; והוכיח‏[1] שבמקרה הראשון יש מספר בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות \ \psi(G)=1, וכולן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות; ובמקרה השני יש מספר שאינו בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות \ \psi(G)=1, ויש ביניהן כאלה שאינן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות.

תת-חבורות של קומוטטורים מקיימות את למת שלוש התת-חבורות: לכל שלוש תת-חבורות נורמליות \ A,B,C של \ G, מתקיים \ [A,[B,C]]\subset [B,[C,A]][C,[A,B]].

האורך בחבורת הקומוטטורים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בדרך כלל, אוסף הקומוטטורים עצמו אינו מהווה חבורה. האורך של איבר בתת-חבורת הקומוטטורים הוא המספר הקטן ביותר של קומוטטורים שיש להכפיל על-מנת לקבל אותו. ב-1962 הוכיח Gallagher‏[2] שהאורך של איבר אינו עולה על \lceil\log_4|G'|\rceil, וידועים גם חסמים טובים יותר (למשל האורך בחבורות מסדר < 1000 אינו עולה על 2).

המתמטיקאי Oystein Ore שיער (ב-1951) שבחבורה פשוטה סופית, כל איבר הוא קומוטטור (של שני איברים כלשהם בחבורה), והוכיח טענה זו עבור חבורת התמורות הזוגיות \ A_n. מאוחר יותר הוכיחו את ההשערה לכל חבורת לי מטיפוס \ L_r(q), עבור \ q>8, ובסופו של דבר (2008), תוך שילוב חסמים תאורטיים וחישוביים על קרקטרים, לכל חבורה פשוטה סופית.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ Hall, P. Finiteness conditions for soluble groups. Proc. London Math. Soc. (3) 4 (1954), 419–436
  2. ^ P. X. Gallagher, Group characters and commutators, Math. Z., 79 (1962), 122-6