תת-חבורת הקומוטטורים

במתמטיקה ובמיוחד באלגברה מופשטת, תת חבורת הקומוטטורים $\ G'$ של חבורה $\ G$ היא התת-חבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים של אברים בחבורה. תת-חבורת הקומוטטורים מודדת עד כמה החבורה היא אבלית: היא טריוויאלית אם ורק אם החבורה אבלית, ובאופן כללי יותר, המנה $\ G/G'$ היא המנה האבלית הגדולה ביותר של G.

הגדרה

הקומוטטור של שני אברים g,h בחבורה G הוא, לפי ההגדרה, האיבר $\ [g,h]=ghg^{-1}h^{-1}$. תת-חבורת הקומוטטורים של $\ G$ היא החבורה הנוצרת על ידי כל האברים האלה, כלומר, $\ \langle [h,g] | h,g \in G \rangle$.

את החבורה המתקבלת מסמנים $\ G'$, או $\ [G,G]$. הסימון האחרון מאפשר הכללה: אם $\ A,B$ תת-חבורות נורמליות של G, אז $\ [A,B]$ היא תת-החבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים $\ [a,b]$ עבור $\ a\in A, b\in B$; גם זו תת-חבורה נורמלית, המוכלת ב- A וב- B.
כעת אפשר להגדיר תת-חבורות חשובות של G, באינדוקציה: $\ G^{(0)} := G$, ולכל n, $\ G^{(n+1)} := [G^{(n)},G^{(n)}]$. אם סדרה זו מגיעה בסופו של דבר לחבורה הטריוויאלית, אז G היא פתירה. חבורה המקיימת את השוויון $\ G'=G$ נקראת חבורה מושלמת.

לדוגמה, תת-חבורת הקומוטטורים של חבורת התמורות $\ S_n$ היא חבורת התמורות הזוגיות המתאימה, $\ A_n$, בעוד ש- $\ A_n$ מושלמת לכל $\ 5\leq n$ (מפני שהיא פשוטה ולא אבלית).

תכונות

תת-חבורת הקומוטטורים היא התת-חבורה הנורמלית הקטנה ביותר כך שחבורת המנה $\ G/G'$ היא אבלית: לכל תת-חבורה נורמלית $\ N$ של $\ G$, המנה $\ G/N$ אבלית אם ורק אם $\ G' \subseteq N$. חבורת המנה $\ G/G'$ נקראת האבליזציה של $\ G$.

מכיוון שהומומורפיזם $\ f : G \to H$ מעביר קומוטטור לקומוטטור, מתקיימת ההכלה $\ f(G')\subset H'$. עבור חבורות מנה, ניתן לחשב ש- $\ [A/N,B/N]=[A,B]N/N$ ובפרט $\ (G/N)'=G'N/N$.

ידוע שכל איבר בתת-חבורת הקומוטטורים הוא "קומוטטור ארוך", מן הצורה $\ a_1 \dots a_n a_1^{-1} \dots a_n^{-1}$, אם כי בדרך כלל, אוסף הקומוטטורים עצמו אינו מהווה חבורה.

תת-חבורות של קומוטטורים מקיימות את למת שלוש התת-חבורות: לכל שלוש תת-חבורות נורמליות $\ A,B,C$ של $\ G$, מתקיים $\ [A,[B,C]]\subset [B,[C,A]][C,[A,B]]$.

האורך בחבורת הקומוטטורים

האורך של איבר בתת-חבורת הקומוטטורים הוא המספר הקטן ביותר של קומוטטורים שיש להכפיל על-מנת לקבל אותו. ב-1962 הוכיח Gallagher ‏ שהאורך של איבר אינו עולה על $\lceil\log_4|G'|\rceil$, וידועים גם חסמים טובים יותר (למשל האורך בחבורות מסדר < 1000 אינו עולה על 2).

המתמטיקאי Oystein Ore שיער (ב-1951) שבחבורה פשוטה סופית, כל איבר הוא קומוטטור (של שני איברים כלשהם בחבורה), והוכיח טענה זו עבור חבורת התמורות הזוגיות $\ A_n$. מאוחר יותר הוכיחו את ההשערה לכל חבורת לי מטיפוס $\ L_r(q)$, עבור $\ q>8$, ובסופו של דבר (2008), תוך שילוב חסמים תאורטיים וחישוביים על קרקטרים, לכל חבורה פשוטה סופית.

ראו גם

• חבורה נילפוטנטית

הערות שוליים

מושגי יסוד באלגברה מופשטת
מונואיד • חבורה • חוג • תחום שלמות • שדה • מודול • אלגברה (מבנה אלגברי) • תורת החבורות • תורת גלואה • אלגברת לי • הומומורפיזם • משפטי האיזומורפיזם • תת חבורה נורמלית • אידאל • הצגה לינארית