תת-סדרה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באנליזה מתמטית, תת-סדרה היא קבוצה חלקית מתוך הסדרה המקורית, המסודרת באותו הסדר. באופן לא פורמלי, תת-סדרה מתקבלת מהסדרה המקורית על ידי הסרת חלק מהאיברים. למשל: לסדרה \ a_n=\frac{1}{n} יש תת-סדרות \ b_n=a_{2n}=\frac{1}{2n} ו-\ c_n=a_{2n^2+7}=\frac{1}{2n^2+7}. סדרה נחשבת לתת-סדרה של עצמה. תת-סדרה של תת-סדרה היא בעצמה תת-סדרה גם של הסדרה המקורית.

ניסוח פורמלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא \{a_n\}_{n=1}^\infty סדרה כלשהי, ותהא \{n_k\}_{k=1}^\infty סדרה עולה ממש של מספרים טבעיים. אז הסדרה \{a_{n_k}\}_{k=1}^\infty נקראת תת-סדרה של \{a_n\}_{n=1}^\infty.

גבול של תת-סדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

l\, נקרא גבול חלקי של הסדרה \{a_n\}_{n=1}^\infty אם קיימת תת-סדרה של \{a_n\}_{n=1}^\infty המתכנסת ל-l\,. הגבולות החלקיים של סדרה נקראים נקודות הצטברות שלה. קבוצת נקודות ההצטברות היא קבוצה סגורה.

סדרה מתכנסת (במובן הרחב) אם ורק אם כל הגבולות החלקיים שלה שווים. כך למשל הסדרה \ a_n=3+\frac{1}{\sqrt{n}} מתכנסת ל-3, ולכן כל תת-סדרה שלה, למשל \ b_n=a_{n^2} = 3+\frac{1}{n}, מתכנסת לאותו מספר. הסדרה \ c_n=4+(-1)^n+\frac{1}{n} מתבדרת, אולם תת-הסדרה שלה \ d_n=c_{2n} = 5+\frac{1}{n}, מתכנסת ל-5. לכן, אם ידוע שסדרה מתכנסת, אז אפשר לחשב את הגבול שלה דרך חישוב הגבול של תת-סדרה.

לכל סדרה יש לפחות גבול חלקי אחד, סופי או אינסופי. הסיבה לכך היא שאם הסדרה חסומה אז יש לה תת-סדרה מתכנסת לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס, ואם היא אינה חסומה, אז קל לבנות מאיבריה תת-סדרה שמתכנסת לגבול אינסופי.

גבול עליון וגבול תחתון[עריכת קוד מקור | עריכה]

נעסוק בהגדרה של גבול עליון, וגבול תחתון מוגדר ומסומן באופן דומה.

גבול עליון של סדרה של מספרים ממשיים מוגדר כגבול החלקי הגדול ביותר שלה. הגבול העליון תמיד קיים (סופי במקרה של סדרה חסומה או אינסופי אחרת). גבול עליון זהה לגבול של סדרת החסמים העליונים של זנבות הסדרה.

באופן פורמלי: תהי \ (a_n) סדרה. נגדיר סדרה חדשה \ (b_m) באופן הבא - b_m=\sup\{a_m,a_{m+1},a_{m+2},...\}. כלומר -

b_1=\sup\{a_1,a_2,a_3,a_4...\}
b_2=\sup\{a_2,a_3,a_4,...\}
b_3=\sup\{a_3,a_4,...\}, וכן הלאה.

אם הסדרה \ (b_m) מתכנסת ל-L, אז L הוא גבול עליון של \ (a_n).

נהוג לסמן גבול עליון \limsup_{n\rightarrow\infty} a_n או \overline{\lim}_{n\rightarrow\infty} a_n.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]