תת-קבוצה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
דיאגרמת ון של קבוצה עם תת-קבוצה המוכלת בה

בתורת הקבוצות, אומרים שהקבוצה הנתונה \ B היא תת-קבוצה של הקבוצה הנתונה \ A[1] אם כל איבר של הקבוצה \ B שייך גם לקבוצה \ A. (בניסוח פורמלי: לכל \ x\in B מתקיים \ x \in A).

את הקשר "\ B מוכלת ב-\ A" (או: \ B חלקית ל-\ A, או: \ B תת-קבוצה של \ A, או, \ A מכילה את \ B) מסמנים כך: \ B \subseteq A, והוא מכונה יחס ההכלה.

מאפיינים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הקבוצה הריקה היא קבוצה חלקית לכל קבוצה נתונה. זאת מכיוון שלא קיים בקבוצה הריקה איבר שלא נמצא בקבוצה הנתונה (הטענה נכונה באופן ריק כיוון שלקבוצה הריקה אין איברים כלל).

את יחס ההכלה מאפיינים היחסים הבאים:

  • "רפלקסיביות": כל קבוצה היא תת-קבוצה של עצמה (ובמילים שקולות: כל קבוצה מוכלת בעצמה, או: כל קבוצה היא חלקית לעצמה).
  • "טרנזיטיביות": אם הקבוצה \ A היא תת-קבוצה של הקבוצה \ B והקבוצה \ B היא תת-קבוצה של הקבוצה \ C, אזי הקבוצה \ A היא גם תת-קבוצה של הקבוצה \ C (בניסוח פורמלי: אם \ A \subseteq B וגם \ B \subseteq C אז \ A \subseteq C).

אם כן, יחס ההכלה הוא יחס סדר חלקי: הוא רפלקסיבי, אנטיסימטרי חלש וטרנזטיבי. היחס אינו שלם: כי יש זוגות של קבוצות (כמו קבוצת הגברים וקבוצת הנשים, או הקבוצה \ \{ 1 \} והקבוצה \ \{ 2 \}) שאף אחת מהן אינה מכילה את רעותה.

יחסים נוספים[עריכת קוד מקור | עריכה]

באמצעות יחס ההכלה ניתן להגדיר את יחס השוויון בין קבוצות; אומרים שהקבוצה \ A שווה לקבוצה \ B אם ורק אם הקבוצה \ A מכילה את הקבוצה \ B וגם הקבוצה \ B מכילה את הקבוצה \ A. (בכתיב פורמלי: A = B\iff B\subseteq A \and A\subseteq B).

באמצעות יחס ההכלה ויחס השוויון ניתן להגדיר יחס נוסף; כאשר הקבוצה \ A מכילה את הקבוצה \ B אך אינה שווה לה (יש איבר בקבוצה \ A שהוא אינו איבר בקבוצה \ B, ובניסוח פורמלי \ B \subseteq A וגם \ B \neq A), נאמר שהקבוצה \ A מכילה ממש את הקבוצה \ B, או במילים שקולות: הקבוצה \ B היא חלקית ממש לקבוצה \ A. יחס זה מסמנים \ B \subset A. (בכתיב פורמלי: B \subset A\iff B\subseteq A \and B\neq A).

הסימון \ \subset עשוי להטעות: בעוד שכאן (ובמרבית הספרים והמאמרים המודרניים) מציינים \ \subseteq ו-\ \subset הכלה ו"הכלה ממש" בהתאמה, יש ספרים שבהם משתמשים בסימונים \subset ו-\subsetneq לאותן מטרות, בהתאמה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ או במילים שקולות: הקבוצה \ B היא חלקית לקבוצה \ A, או: הקבוצה \ B מוכלת בקבוצה \ A, או: הקבוצה \ A מכילה את הקבוצה \ B.