Theorema Egregium

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
אנימציה שמתארת דפורמציה של ליקואיד לקטנואיד. Theorema Egregium קובע שלנקודות מתאימות תחת הדפורמציה יש אותה עקמומיות גאוס.

ה-Theorema Egregium (במקור בלטינית; באנגלית: Remarkable Theorem, בעברית: משפט ראוי לציון או נהדר) הוא תוצאה יסודית בגאומטריה דיפרנציאלית שהוכחה על ידי קרל פרידריך גאוס ב-1828 ועוסקת בעקמומיות של משטחים. המשפט קובע כי עקמומיות גאוס של משטח יכולה להיקבע באמצעות מדידת זוויות ומרחקים על המשטח עצמו, ללא תלות באופן שבו המשטח משוכן במרחב האוקלידי המקיף אותו. לכן עקמומיות גאוס היא תכונה פנימית של המשטח. בשפה מתמטית מודרנית: עקמומיות גאוס של משטח היא אינווריאנטית תחת איזומטריה מקומית.

המשפט הוא "יוצא דופן" מכיוון שעקמומיות גאוס של המשטח עושה שימוש ישיר באופן שבו המשטח משוכן במרחב. לכן זה מפתיע מאוד שהתוצאה הסופית אינה תלויה בשיכון שלו, ונשמרת אם מעקמים או מפתלים את המשטח.

יישומים אלמנטרים[עריכת קוד מקור | עריכה]

כמסקנה מן ה-Theorema Egregium נובע שפני כדור הארץ לא ניתנים לייצוג על מפה מישורית באופן מושלם. היטל מרקטור שמוצג בתמונה, הוא היטל שאמנם משמר זווית אך מעוות את השטח.

לספירה בעלת רדיוס R יש עקמומיות גאוס קבועה ששווה ל-\ 1/R^2: עקמומיות גאוס מוגדרת כמכפלה של מידת העקמומיות לאורך שני צירים מאונכים (מסוימים), ובנקודה על הספירה העקמומיות בכל כיוון היא \ 1/R. למישור, לעומת זאת, יש עקמומיות גאוס ששווה לאפס: העקמומיות בכל כיוון היא אפס. גם לגליל יש עקמומיות אפס, משום שבכל נקודה עליו יש כיוון שבו העקמומיות היא אפס (שבו ניתן למצוא על פניו קו ישר); עקמומיות שכזו נקראת עקמומיות מדומה[1]. כמסקנה מן ה-Theorema Egregium נובע שלא ניתן ליצור מנייר שטוח ספירה, מבלי לקרוע אותו. לחלופין, פני השטח של כדור אינם ניתנים לפרישה אל מישור מבלי שהמרחקים על המשטח יתעוותו. בשפה מתמטית, הספירה והמישור אינם איזומטריים, אפילו לא מקומית. לעובדה זו יש חשיבות עצומה בקרטוגרפיה; נובע ממנה שלא ניתן להכין מפה מישורית מושלמת של פני כדור הארץ, אפילו לא של חלק ממנו - כל הטלה קרטוגרפית בהכרח מעוותת במקצת את הגדלים המקוריים שעל פני כדור הארץ. אכן, יישומים לגאודזיה היו אחת המוטיבציות המרכזיות של גאוס למחקריו בגאומטריה דיפרנציאלית.

הקטנואיד וההליוקואיד הם שני משטחים שונים מאוד למראית עין. למרות זאת, כל אחד מהם ניתן לעיוות רציף אחד אל השני: הם איזומטריים באופן מקומי. מן ה-Theorema Egregium נובע שתחת העיוות הזה עקמומיות גאוס של כל שתי נקודות מתאימות על שני המשטחים היא תמיד זהה. דוגמה זו מראה שהעיוות מעקם ומסובב את המשטח, בלי ליצור קפלים או קרעים; לכן הוא גם אינו משנה את המתיחות או הלחצים בתוך המשטח.

ניתן לראות יישום של ה-Theoerema Egregium באסטרטגיה נפוצה להרמת פרוסת פיצה: הפרוסה היא משטח בעל עקמומיות גאוס אפס. עיוות של הפרוסה חייב לשמר את העקמומיות הזו. אם מעקמים כעת את הפרוסה בכיוון האופקי, נוצרת עקמומיות חיובית לאורך השפה, מה שמכריח את העקמומיות בכיוון המאונך לה להשאר אפס. הפעולה יוצרת קשיחות בכיוון המאונך לקפל, כך שקצה הפרוסה אינו יכול ליפול. אותו העקרון מיושם לצורך הקשחת חומרים גליים, מהם המוכרים ביותר הם הקרטון והפח הגלי.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ עקמומיות מדומה ניתן 'לסלק' (על ידי פרישת המשטח למישור) מבלי לשנות את תכונות המשטח. עמוס הרפז, 'מושגים בתורת היחסות', 1988, עמוד 41.