שדה המספרים הרציונליים

שדה המספרים הרציונליים (או: השדה הרציונלי) הוא האוסף של כל השברים (כגון $\ {\frac {7}{4}},{\frac {-3}{14}},{\frac {6}{1}}$), יחד עם פעולות החיבור והכפל הרגילות. באופן זה, אוסף השברים מהווה שדה סדור, שאבריו הם כל המספרים הרציונליים. כיוון שכל מספר רציונלי הוא מנה של שני מספרים שלמים, מסמנים את השדה ב-$\ \mathbb {Q}$, האות הראשונה במלה Quotient (מנה באנגלית).

$\ \mathbb {Q}$ הוא השדה הקטן ביותר ממאפיין אפס: כל שדה שבו המספרים הטבעיים שונים זה מזה מכיל עותק של $\ \mathbb {Q}$, ולכן אפשר להתייחס לכל שדה ממאפיין אפס כאל הרחבה של השדה הרציונלי. כאשר ממד ההרחבה סופי, איבריו של השדה הם כולם אלגבריים מעל השדה הרציונלי, והוא נקרא שדה מספרים.

באופן פורמלי, בונים את $\ \mathbb {Q}$ כשדה שברים של חוג המספרים השלמים (ראו מערכות מספרים).

כתת-שדה של השדה הממשי, השדה הרציונלי הוא קבוצה צפופה בת מנייה. השדה הממשי, אם כך, הוא מרחב ספרבילי.

בנייה פורמלית

נגדיר יחס שקילות על $\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})$ כך: $(a,b)\sim (c,d)$ אם ורק אם $ad=bc$. נראה שזהו אכן יחס שקילות:

• רפלקסיביות: $ab=ba$ ולכן $(a,b)\sim (a,b)$
• סימטריה: נניח ש$ad=bc$. מכיוון ששוויון הוא סימטרי וכפל הוא חילופי, נקבל $cb=da$, כלומר $(c,d)\sim (a,b)$
• טרנזיטיביות: נניח ש$ad=bc$ וכן ש$cf=de$. נכפול את המשוואות ונקבל $adcf=bcde$. נצמצם ב$cd$ ונקבל $af=be$, כלומר $(a,b)\sim (e,f)$

קבוצת המנה של יחס שקילות זה תסומן $\mathbb {Q}$ - קבוצת המספרים הרציונליים. את מחלקת השקילות $[(a,b)]$ נסמן ${\frac {a}{b}}$. את מחלקת השקילות $[(a,1)]$ נזהה עם המספר השלם $a$. כך קיבלנו שקבוצת המספרים השלמים חלקית לרציונליים.

נגדיר פעולות חיבור וכפל:

• $[(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)]$
• $[(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac,bd)]$

נראה שההגדרות לא תלויות בנציגים, כלומר אם $(a,b)\sim (a',b')$ וכן $(c,d)\sim (c',d')$, אז $(ad+bc,bd)\sim (a'd'+b'c',b'd')$ וכן $(ac,bd)\sim (a'c',b'd')$.

• חיבור: צריך להוכיח כי $(ad+bc)b'd'=(a'd'+b'c')bd$, כלומר כי $adb'd'+bcb'd'=a'd'bd+b'c'bd$. מתקיים $ab'=a'b$. נכפול ב$dd'$ ונקבל $adb'd'=a'd'bd$. מתקיים $cd'=c'd$. נכפול ב$bb'$ ונקבל $bcb'd'=b'c'bd$. נחבר את המשוואות ונקבל בדיוק את השוויון הדרוש
• כפל: צריך להוכיח כי $acb'd'=bda'c'$. מתקיים $ab'=ba'$ וכן $cd'=c'd$. נכפול את המשוואות ונקבל את השוויון הדרוש.

נראה כי הפעולות מקיימות את אקסיומות השדה:

• אסוציאטיביות:

• חיבור: $[(a,b)]+([(c,d)]+[(e,f)])=[(a,b)]+[(cf+de,df)]=[(adf+bcf+bde,bdf)]=[(ad+bc,bd)]+[(e,f)]=([(a,b)]+[(c,d)])+[(e,f)]$
• כפל: $[(a,b)]\cdot ([(c,d)]\cdot [(e,f)])=[(a,b)]\cdot [(ce,df)]=[(ace,bdf)]=[(ac,bd)]\cdot [(e,f)]=([(a,b)]\cdot [(c,d)])\cdot [(e,f)]$

• קומוטטיביות:

• חיבור: $[(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)]=[(cb+da,db)]=[(c,d)]+[(a,b)]$
• כפל: $[(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac,bd)]=[(ca,db)]=[(c,d)]\cdot [(a,b)]$

• איבר האפס: $[(a,b)]+0=[(a,b)]+[(0,1)]=[(a\cdot 1+b\cdot 0,b\cdot 1)]=[(a,b)]$
• איבר היחידה: $[(a,b)]\cdot 1=[(a,b)]\cdot [(1,1)[=[(a\cdot 1,b\cdot 1)]=[(a,b)]$
• איבר נגדי: $[(a,b)]+[(-a,b)]=[(ab-ba,b^{2})]=[(0,b^{2})]=[(0,1)]=0$
• איבר הופכי: $[(a,b)]\cdot [(b,a)]=[(ab,ba)]=[(1,1)]=1$
• דיסטריבוטיביות: ${\begin{aligned}&[(a,b)]\cdot ([(c,d)]+[(e,f)])=[(a,b)]\cdot [(cf+de,df)]=[(acf+ade,bdf)]=[(acbf+adbe,bdbf)]=[(ac,bd)]+[(ae,bf)]\\&=[(a,b)]\cdot [(c,d)]+[(a,b)]\cdot [(e,f)]\end{aligned}}$

את הסדר על $\mathbb {Q}$ נגדיר כך: $\forall b,d>0,[(a,b)]<[(c,d)]\Leftrightarrow ad<bc$. כלומר יש להציג את המספר כבעל מכנה חיובי, ואז ניתן להשוות. נראה כי ההגדרה אינה תלויה בנציגים:

נניח כי $b,d,b',d'>0$, וכן כי $ad<bc$. נכפול בשוויון $cd'=c'd$ ונקבל $ad'cd<bc'cd$. נצמצם ב$cd$ ונקבל $ad'<bc'$. נכפול בשוויון $a'b=ab'$ ונקבל $a'd'ab<b'c'ab$. נצמצם ב$ab$ ונקבל $a'd'<b'c'$. נראה כי זהו אכן יחס סדר חזק:

• אנטי-רפלקסיביות: לא מתקיים $ab<ab$ ולכן גם לא $[(a,b)]<[(a,b)]$
• טרנזיטיביות: נניח כי $ad<bc\land cf<de$. נכפול את שני אי השוויונות ונקבל $adcf<bcde$. נצמצם ב$cd$ ונקבל $af<be$, כלומר $[(a,b)]<[(e,f)]$
• השוואה: נשתמש בכך שהסדר על השלמים הוא משווה, ונקבל שלכל $a,b,c,d$ מתקיים $ad=bc\lor ad<bc\lor ad>bc$, כלומר $[(a,b)]=[(c,d)]\lor [(a,b)]<[(c,d)]\lor [(c,d)]<[(a,b)]$

נראה כי ההגדרה הופכת את השדה לשדה סדור: נניח כי $[(a,b)]<[(c,d)]$, וכן $f>0$:

• צריך להוכיח כי $[(a,b)]+[(e,f)]<[(c,d)]+[(e,f)]$, כלומר $afdf+bedf<cfbf+debf$. מתקיים $ad<bc$. נכפול ב$f^{2}>0$ ונקבל $afdf<cfbf$. נוסיף לשני האגפים $bedf$ ונקבל את אי השוויון הרצוי.
• נניח בנוסף כי $[(e,f)]>0=[(0,1)]$ (כלומר $e>0$ לאחר שהנחנו $f>0$). צריך להוכיח $[(a,b)]\cdot [(e,f)]<[(c,d)]\cdot [(e,f)]$, כלומר כי $aedf<bfce$. מתקיים $ad<bc$. נכפול ב$ef>0$ ונקבל את אי השוויון הרצוי.