מערכת לורנץ

דוגמה למסלול במרחב הפאזה של מושך לורנץ עם הנתונים בהם השתמש לורנץ במחקרו הראשוני

בתורת הכאוס, מערכת לורנץ היא מערכת משוואות דפרנציאליות רגילות, שנחקרו לראשונה על ידי המטאורולוג אדוארד לורנץ. מערכת לורנץ מפורסמת עקב ההתנהגות הכאוטית של פתרונותיה, כתלות בתנאי ההתחלה והפרמטרים שלה המכונים מושכי לורנץ.

ההבנה של רגישות מערכת לורנץ לתנאי התחלה הובילה לשינוי בגישה של חוקרים לבעיות הנובעות ממערכות פיזיקליות שתנאי ההתחלה בהן אינם ידועים במדויק, או אינם יכולים להינתן במדויק. כך לדוגמה, הביטוי הפופולרי של אפקט הפרפר מייצג מקרה בו משק כנפי פרפר עשוי ליצור שינויים קטנים באטמוספירה שבסופו של דבר יגרמו להופעת סופת טורנדו.

המשמעות העמוקה של הבנה זו היא שניסיון לגזור פתרון מדויק של מערכת פיזיקלית דינמית לאורך זמן נידון מראש לכישלון, גם בקני מידה גדולים בהם אפקטים קוונטיים אינם משמעותיים.

הגדרה

בשנת 1963, יצר המטאורולוג אדוארד לורנץ מודל מתמטי מופשט של הולכת החום באטמוספירה הנגזר מקירוב הציפה של בוסינסק.

המודל מתייחס לאטמוספירה כשכבת נוזל דליל דו־ממדית, המחוממת בצורה אחידה על השפה התחתונה, ומקוררת בצורה אחידה משפתה העליונה.

המודל יוצר מערכת משוואות דיפרנציאליות רגילות הכוללת שלוש משוואות:

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma (y-x)\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=x(\rho -z)-y\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z\end{aligned}}$

כאשר x הוא קצב הולכת החום, y הוא השינוי בטמפרטורה בציר האופקי וz הוא השינוי בטמפרטורה בציר האנכי.

הפרמטר $\sigma$ פרופורציוני למספר פרנטל של האטמוספירה, $\beta$ לממדים הפיזיים של המערכת ו$\rho$ למספר ריילי של האטמוספירה.

זוהי מערכת משוואות תלת-ממדית, דטרמיניסטית ולא ליניארית, אשר אין בפתרון שלה שום אלמנט רנדומלי.

אנליזה

המושך המוזר של לורנץ

לורנץ השתמש בגדלים המדידים $\sigma =10,\quad \beta ={\frac {8}{3}},\quad \rho =28$ לתיאור המערכת המטאורולוגית, וקיבל כי למערכת פתרונות שמתנהגים בצורה כאוטית עבור ערכים אלו.

כמעט כל הפתרונות של מערכת לורנץ עם הפרמטרים הנ"ל משתייכים לסט בעל שלוש נקודות שבת שנקרא מושך לורנץ. מושך לורנץ הוא מושך מוזר, כלומר מושך בעל מבנה פרקטלי עם מימד האוסדורף של $2.06\pm 0.01$.

אף שהמשוואות המגדירות את מושך לורנץ הן פשוטות, הוכחת היותו מושך מוזר אינה קלה בכלל, ולמעשה היא הבעיה ה14 מבעיות שמייל, ונפתרה רק בשנת 2002 על ידי המתמטיקאי האוסטרלי וורוויק טאקר, על ידי הוכחה באמצעות מחשב.

בפשטות, עבור $\rho <1$ מתקבלת נקודת שבת יציבה יחידה בראשית $x=y=z=0$ והיא מהווה מושך גלובלי אשר כל המסלולים מתכנסים אליו. משמעות נקודה זו היא שאין כלל הולכת חום בנוזל.

בנקודה $\rho =1$ מתרחש פיצול קלשון, המוסיף שתי נקודות קריטיות בנקודות $({\sqrt {\beta (\rho +1)}},{\sqrt {\beta (\rho +1)}},\rho -1)\quad ;\quad (-{\sqrt {\beta (\rho +1)}},-{\sqrt {\beta (\rho +1)}},\rho -1)$, אשר משמעותן היא הולכת חום בקצב אחיד אופקית ואנכית. נקודות אלה יציבות אם ורק אם $\rho <\sigma {\frac {\sigma +\beta +3}{\sigma -\beta -1}}$. מכיוון שחומרים פיזיקליים הם בעלי ערכי $\rho >0$, נקבל דרישה מחייבת כי $\sigma >\beta +1$.

סימולציית MATLAB

% Solve over time interval [0,100] with initial conditions [1,1,1]
% ''f'' is set of differential equations
% ''a'' is array containing x, y, and z variables
% ''t'' is time variable

sigma = 10;
beta = 8/3;
rho = 28;
f = @(t,a) [-sigma*a(1) + sigma*a(2); rho*a(1) - a(2) - a(1)*a(3); -beta*a(3) + a(1)*a(2)];
[t,a] = ode45(f,[0 100],[1 1 1]); % Runge-Kutta 4th/5th order ODE solver
plot3(a(:,1),a(:,2),a(:,3))

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מערכת לורנץ בוויקישיתוף

• מערכת לורנץ, באתר MathWorld (באנגלית)