אידיאל פרימרי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
(הופנה מהדף אידאל פרימרי)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה מופשטת, אידיאל פרימרי (או אידיאל קמאי) של חוג קומוטטיבי הוא אידיאל, המקיים את התכונה הבאה: אם המכפלה ab שייכת לאידיאל, אז או ש- a שייך לאידיאל, או שחזקה כלשהי של b שייכת לאידיאל. אידיאל הוא ראשוני אם במקרה כזה אחד מבין a או b שייך לאידיאל, ולכן כל אידיאל ראשוני הוא פרימרי.

כל חזקה של אידיאל מקסימלי היא פרימרית. בחוג דדקינד גם ההפך נכון: כל אידיאל פרימרי שאינו אפס הוא חזקה של אידיאל מקסימלי. לדוגמה, בחוג השלמים האידיאלים הפרימריים הם האידיאלים מהצורה עבור p ראשוני.

אידיאל של חוג קומוטטיבי הוא פרימרי, אם בחוג המנה כל מחלק אפס הוא נילפוטנטי.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחה. זה נובע ישירות מההגדרה הבאה של ראשוניות - אם לכל או או אז ראשוני.

הוכחה. נניח , לכן . מתוך הפרימריות של יוצא ש: או או עבור כלשהו. עכשיו, אם אז ואם אז . לכן הרדיקל ראשוני כפי שרצינו.

משפט לסקר-נתר קובע שבחוג קומוטטיבי נתרי, כל אידיאל שווה לחיתוך של מספר סופי של אידיאלים פרימריים. הצגה זו היא כלי בסיסי בגאומטריה אלגברית. אם האידיאלים המשתתפים בחיתוך הם קו-מקסימליים (כמו שקורה למשל בחוג דדקינד), משפט השאריות הסיני מציג את חוג המנה כמכפלה ישרה של חוגים פרימריים.

פרימריות חזקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אידיאל Q הוא פרימרי בחזקה (strongly primary) אם קיים n כך שהרדיקל מקיים . כל אידיאל פרימרי נוצר סופית הוא פרימרי בחזקה.

מקורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • The Concise Handbook of Algebra, Chapter C.1, R. Gilmer.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]