אידאל פרימרי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה מופשטת, אידאל פרימרי (או אידאל קמאי) של חוג קומוטטיבי הנו אידאל, המקיים את התכונה הבאה: אם המכפלה ab שייכת לאידאל, אז או ש- a שייך לאידאל, או שחזקה כלשהי של b שייכת לאידאל. אידאל הוא ראשוני אם במקרה כזה אחד מבין a או b שייך לאידאל, ולכן כל אידאל ראשוני הוא פרימרי.

כל חזקה של אידאל מקסימלי היא פרימרית. בחוג דדקינד גם ההפך נכון: כל אידאל פרימרי שאינו אפס הוא חזקה של אידאל מקסימלי. לדוגמה, בחוג השלמים האידאלים הפרימריים הם האידאלים מהצורה \ p^t\mathbb{Z} עבור p ראשוני.

אידאל \ I של חוג קומוטטיבי \ A הוא פרימרי, אם בחוג המנה \ A/I כל מחלק אפס הוא נילפוטנטי.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחה. זה נובע ישירות מההגדרה הבאה של ראשוניות - אם לכל \ ab \in \ I או \ a \in \ I או \ b \in \ I אז \ I ראשוני.

הוכחה. נניח \ ab \in \sqrt{Q}, לכן \ (ab)^n = a^nb^n  \in \ Q. מתוך הפרימריות של \ Q יוצא ש: או \ a^n \in \ Q או \ (b^n)^m=b^{nm} \in \ Q עבור \ m כלשהו. עכשיו, אם \ a^n \in \ Q אז \ a \in \sqrt{Q} ואם \ b^{mn} \in \ Q אז \ b \in \sqrt{Q}. לכן הרדיקל ראשוני כפי שרצינו.

משפט לסקר-נתר קובע שבחוג קומוטטיבי נתרי, כל אידאל שווה לחיתוך של מספר סופי של אידאלים פרימריים. הצגה זו היא כלי בסיסי בגאומטריה אלגברית. אם האידאלים המשתתפים בחיתוך הם קו-מקסימליים (כמו שקורה למשל בחוג דדקינד), משפט השאריות הסיני מציג את חוג המנה כמכפלה ישרה של חוגים פרימריים.

פרימריות חזקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אידאל Q הוא פרימרי בחזקה (strongly primary) אם קיים n כך שהרדיקל \ \sqrt{Q} מקיים \ \sqrt{Q}^n \subseteq Q. כל אידאל פרימרי נוצר סופית הוא פרימרי בחזקה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

מקורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • The Concise Handbook of Algebra, Chapter C.1, R. Gilmer.