אידיאל פרימרי

באלגברה מופשטת, אידיאל פרימרי (או אידיאל קמאי) של חוג קומוטטיבי הוא אידיאל, המקיים את התכונה הבאה: אם המכפלה $ab$ שייכת לאידיאל, אז או ש-$a$ שייך לאידיאל, או שחזקה כלשהי של $b$ שייכת לאידיאל. אידיאל הוא ראשוני אם במקרה כזה אחד מבין $a$ או $b$ שייך לאידיאל, ולכן כל אידיאל ראשוני הוא פרימרי.

כל חזקה של אידיאל מקסימלי היא פרימרית. בחוג דדקינד גם ההפך נכון: כל אידיאל פרימרי שאינו אפס הוא חזקה של אידיאל מקסימלי. לדוגמה, בחוג השלמים האידיאלים הפרימריים הם האידיאלים מהצורה $p^{t}\mathbb {Z}$ עבור $p$ ראשוני.

אידיאל $I$ של חוג קומוטטיבי $A$ הוא פרימרי, אם בחוג המנה $A/I$ כל מחלק אפס הוא נילפוטנטי.

תכונות

• כל אידיאל ראשוני הוא אידיאל פרימרי.

הוכחה. זה נובע ישירות מההגדרה הבאה של ראשוניות - אם לכל $ab\in \ I$ או $a\in \ I$ או $b\in \ I$ אז $I$ ראשוני.

• הרדיקל של אידיאל פרימרי הוא ראשוני.

הוכחה. נניח $ab\in {\sqrt {Q}}$, לכן $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}\in \ Q$. מתוך הפרימריות של $Q$ יוצא ש: או $a^{n}\in \ Q$ או $(b^{n})^{m}=b^{nm}\in \ Q$ עבור $m$ כלשהו. עכשיו, אם $a^{n}\in \ Q$ אז $a\in {\sqrt {Q}}$ ואם $b^{mn}\in \ Q$ אז $b\in {\sqrt {Q}}$. לכן הרדיקל ראשוני כפי שרצינו.

משפט לסקר-נתר קובע שבחוג קומוטטיבי נתרי, כל אידיאל שווה לחיתוך של מספר סופי של אידיאלים פרימריים. הצגה זו היא כלי בסיסי בגאומטריה אלגברית. אם האידיאלים המשתתפים בחיתוך הם קו-מקסימליים (כמו שקורה למשל בחוג דדקינד), משפט השאריות הסיני מציג את חוג המנה כמכפלה ישרה של חוגים פרימריים.

פרימריות חזקה

אידיאל $Q$ הוא פרימרי בחזקה (strongly primary) אם קיים $n$ כך שהרדיקל ${\sqrt {Q}}$ מקיים ${\sqrt {Q}}^{n}\subseteq Q$. כל אידיאל פרימרי נוצר סופית הוא פרימרי בחזקה.

מקורות

• The Concise Handbook of Algebra, Chapter C.1, R. Gilmer.

ראו גם

• משפט לסקר-נתר

קישורים חיצוניים

• אידיאל פרימרי, באתר MathWorld (באנגלית)